转动惯量

    转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J表示，SI 单位为 kg·m2。对于一个质点，I = mr2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

基本含义

质量转动惯量

    其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。    转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量应用刚体各种运动的动力学计算中。转动惯量的表达式为    若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中 表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。）      转动惯量的量纲为 ，在SI单位制中，它的单位是 。     此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。

面积转动惯量

    有实际应用价值的只是平面积的转动惯量，平面积A对平面内互相垂直的x和y轴的转动惯量分别为  和  ，式中x，y为面元dA的位置坐标。平/积A对于通过x，y轴交点并同它们互相垂直的z轴的转动惯量（又称极转动惯量）为：式中 为面元dA至z轴的垂直距离（见截面的几何性质）。面积转动惯量常用的单位有厘米 和  等。    描述面积绕同它垂直的互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系有如下的平行轴定理：面积对于一轴的转动惯量，等于该面积对于同此轴平行并通过形心之轴的转动惯量加上该面积同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此面积绕过形心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的菩≌摺

相关定理

平行轴定理

    平行轴定理：设刚体质量为  ，绕通过质心转轴的b动惯量为 ，将此轴朝任b方向平行移动一个距离  ，则绕新轴的转动惯量  为：    这个定理称为平行轴定理。 平行轴定理    一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。    利用平行轴定理可知，在一组平行的转轴对应的转动惯量中，过质心的轴对应的转动惯量最小。

垂直轴定理

    垂直<定理：一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。表达式:    式中Ix,Iy,Iz分别代表刚体对x,y,z三轴的转动惯量.    对于非平面薄板状的刚体,亦有如下垂直轴定理成立[4]  :   利用垂直轴定理可对一些刚体对一特定轴的转动惯量进行较简便的计算.   刚体对一轴的转动惯量，薄板的垂直轴定理    可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为     ，式中M为刚体质量；I为转动惯量。     除以上两定理外，常用的还有伸展定则。伸展定则阐明，如果将一个物体的任何一点，平行地沿着一支直轴作任意大小的位移，则此物体对此轴的转动惯量不变。 我们可以想像，将一个物体，平行于直轴地，往两端拉开。在物体伸展的同时，保持物体任何一点离直轴的垂直距离不变，则伸展定则阐明此物体对此轴的转动惯量不变。伸展定则通过转动惯量的定义式就可以简单得到。

动力学公式

    上面给出的是转动惯量的定义和计算公式。下面给出一些（定轴转动的）刚体动力学公式。[1] 角加速度与合外力矩的关系：    式中M为合外力矩，β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律具有类似的形式。角动量：刚体的定轴转动动能：    注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心平动动能。由这一公式，可以从能量b角度分析刚体动力学的问题。

张量定义

    刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转b惯量的大小。出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达式。    设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量      定义为    该积分遍及整个刚体A，其中，  ，是刚体=心C到刚体上任一点B的矢径；表达式  是两个矢量的并乘；而为单位张量，标架      是一个典型的单位正交曲线标架；  是刚体的密度。转动惯量张量的力矩方程    设刚体A所受到的绕其质心C的合力矩矢量为  ，刚体A在惯性系下h角速度矢量为 ，角加速度矢量为  ，A绕其质心的转动惯量张量为  ，则有如下的力矩方程：    将上面的矢量形式的力矩方程向各个坐标轴投影（或者，更确切地说，与各个坐标轴的单位方向矢量相点乘），就可以获得各个坐标轴分量方向的标量形式的力矩方程。转动惯量张量  
    是一个二阶张量，虽然在标架 
    下它有九个分量，但是因为它是一个对称张量，故其实际独立的分量只有六个。[5] 

实验测定

    实际情况下，不规则刚体的转动惯量往往难以精确计算，需要通过实验测定。三线摆    测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。三线摆是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是物理图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义。

实验原理

    如右所示，三线摆的上盘沿等边三角形的顶点对称地连接在下面的一实验b理图    个较大的均匀圆盘边缘的正三角形顶点上。实验时，先使下盘空载，令上盘转过一个小角度，此时下盘开始做扭摆运动，同时，下圆盘的质心  将沿着转动轴升降。记其振动周期为  ，下盘质量为  。接下来将质量为  的待测物体放在下盘上，使其质心恰位于下盘中轴线上，然后再次使下盘做扭摆运动，并记其周期为  。通过计算得出，当 很小时，下盘的转动惯量满足公式利用平行轴定理，即可得到质量为  的物体的转动惯量式中，  是上、下圆盘中心的垂直距离；  是下圆盘在振动时上升的高度；  是上圆盘的半径； 是下圆盘的半径n是扭转角。

实验内容

1.测定仪器常数。    恰当选择测量仪器和用具，减小测量不确定度。自拟实验步骤，确保三线摆的上、下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态。2.测量下圆盘的转动惯量 ，并计算其不确定度。    转动三线摆上方的小圆盘，使其绕自身轴转一角度α，借助线的张力使下圆盘作扭摆运动，而避免产生左右晃动。自己拟定测 的方法，使周期的测量不确定度小于其它测量量的不确定度。2用式，求出 ，并推导出不确定度传递公式，计算的不确定度。3.测量圆环的转动惯量    在下圆盘上放上待测圆环，注意使圆环的质心恰好在转动轴上，测量系统的转动惯量。测量圆环的质量和内、外直径 。利用式求出圆环的转动惯量 。并与理论值进行比较，求出相对误差。4.验证平行轴定理    将质量和形状尺寸相同的两金属圆柱重叠起来放在下圆盘上，注意使质心与下圆盘的质心重合。测量转动蓖ü圆柱质心时，系统的转动惯量 。然后将两圆柱对称地置于下圆盘中心的两侧。测量此时系统的转动惯量 。 测量圆柱质心到中心转轴的距离计算，并与测量值比较。

计算公式

对于细杆

    当回转轴过杆的中点(质心)并垂直于杆时  ；其中m是杆的质量，L是杆的长度。当回转轴过杆的端点并垂直于杆时  ；其中m是杆的质量，L是杆的长度。

对于圆柱体

当回转轴是圆柱体轴线时  ；其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

对于细圆环

当回转轴通过环心且与环面垂直时，  ；当回转轴通过环边缘且与环面垂直时， ； 沿环的某一直径，；R为其半径。

对于薄圆

   当回转轴通过中心与盘面垂直时， ；

    当回转轴通过边缘与盘面垂直时， ；    R为其半径。

对于空心圆柱

    当回转轴为对称轴时，  。（注意这里是加号不是减号[1]  ，容易记错。可以代入      的极端情况进行验证，此时圆柱退化为柱面。）    R1和R2分别为其内外半径。

对于球壳

    当回转轴为中心轴时，  ；    当回转轴为球壳的切线时，  ；    R为球壳半径。

对于实心球体

    当回转轴为球体的中心轴时，  ；    当回转轴为球体的切线时，  ；    R为球体半径。

对于立方体

    当回转轴为其中心轴时，  ；    当回转轴为其棱边时，  ；    当回转轴为其体对角线时，  ；    L为立方体边长。[4] 

对于长方体

    当回转轴为其中心轴时      ，式中l1和l2是与转轴垂直的长方形的两条边长。例题    已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。计算一下，当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr2L.根据在0.1秒达到500转/分的0速度，我们可以算出轴的角加速度β=△ω/△t=（2π×500rad/min）/0.1s电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=mr2/2。所以M=Jβ=（mr2/2）（△ω/△t）=ρπr^2hr2/2△ω/△t=7.8×103 ×3.14× 0.042×0.5×0.042/2 ×500×2π/60/0.1=8.203145单位kg·m2/s2=N·m