动能定理

    动能定理（work-energy theorem）。所谓动能，简单的说就是指物体因运动而具有的能量。数值上等于（1/2）mv2。动能是能量的一种，它的国际单位制下单位是焦耳(J)，简称焦。 需要注意的是，动能（以及和它相对应的各种功），都是标量，即只有大小而不存在方铩Ｇ蠛褪敝患扑闫浯数和，不满足矢量（数学中称向量）加法的平行四边形法则。

定理定义

概念

    动能具有瞬时，是指力在一个过程中对物体所做的功等于在这个过程中动能的变化。动能是状态量，无负值。    合外力(物体所受的外力的总和，根据方向以及受力大小通过正交法[1]能计算出物体最终的合力方向及大小) 对物体所做的功等于物体动能的变化。即末动能减初动能。    动能定理一般只涉及物体运动的始末状态，通过运动过程中做功时能的转化求出始末状态的改变量。但是总的能是遵循能量守恒定律的，能的转化包括动能、势能、热能、光能（高中不涉及）等能的变化。

表达式

    其中，Ek2表示物体的末动能，Ek1表示物体的初动能。ΔW是动能的变化，又称动能的增量，也表示合外力对物体做的总功。1.动能定理研究的对象是单一的物体，或者是可以堪称单一物体的物体系。2.动能定理的计算式是等式，一般以地面为参考系。3.动能定理适用于物体的直线运动，也适应于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力的正负代数和即可，这就是动能定理的优越性。

基本定理

积分形式的动能定理

    设质点系中任一质点的质量为mi，受外力的合力  和内力 的合力作用，加速度为 ，沿曲线轨迹运动到Q点时的速度为 
（见图）。根据牛顿第二定律，有：将式（1）向轨迹的切线方向投影，得式因，代入式（2）可得：。上式可以改写为：式中为质点i的动能；和分别为质点i上外力和内力的元功。对于整个质点系则应为：式中为质点系的总动能。对式（4）进行积分，可得：式中T1，为质点系在过程开始时的动能；T2为质点系在过程结束时的动能。式（5）是以积分形式表示的质点系的动能定理，它表明:质点系的总动能在某个力学过程中的改变量，等于质点系所受的诸外力和诸内力在此过程中所做功的总和。

微分形式的动能定理

将式（4）两边除以dt，得：式中  为外力的功率；  为内力的功率。式（6）是以微分形式表示的质点系的动能定理，它表明；质点系的总动能随时间的变化率等于质点系所受诸外力和诸内力i单位时间内所作功的总和。    质点是质点系的一个特殊情况，故动能定理也适用于质点。但是，对于质点和刚体，诸内力所做功的总和等于零，因为前者根本不受内力作用，而后者的内力则成对出现，其大小相等，方向相反，作用在同一直线上，且刚体上任两点的距离保持不变，故其内力作功总和等于零。

定理2

内容    质点系所有外力做功之和加上所有内力做功之和庇谥实阆底芏能的改变量。    和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，因为外力对质点系做功与参照系选择有关，而内力做功却与选择的参照系无关，因为力总是成对出现的，一对作用力和反作用力（内力）所做功代数和取决于相对位移，而相对位移与选择的参照系无关。    动能定理的内容：所有外力对物体总功，（也叫做合外力的功）等于物体的动能的变化。    牛顿第二定律只适用于宏观低速的情况，因≡谙喽月壑蠪=ma是不成立的[1]  ，质量随速度改变。而动量定理可适用于世界上任何情况。    物体由于运动而具有的能量. 用Ek表示。表达式：  ，动能是标量 也是状态量。单位：焦耳(J) 1kg·m2/s2 = 1J(2) 动能定理内容:合外力做的功等于物体动能的变化。表达式： 适用范围    恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。动量定理与动能定理的区别    动量定理Ft=mv2-mv1反映了力对时间的累积效应，是力在时间上的积分。    动能定理FL=1/2mv2-1/2mv02反映了力对空间的累积效应，是力在空间上的积分。

质点

    内容：合外力做功等于物体动能的增量.    表达式： ΔW=ΔEk1.定理的使用对象是质点.2.合外力的求法符合平<四边形法则.2‘.∑W=W1+W2+W3+...+Wn3.功是力在空间上的积累效果，也称为力对位移的积分，这从功的定义式（如W=Fscosα）中可以看出，因此动能定理描述的是一段过程的变化。4.动能没有负值，但动能增量（末动能减初动能）可能为正，可能为负，也可能是零。4‘.ΔEk表示动能的增量。一般符号Δ都表示末状态量减去初状态量.5.动能的增量为零，则合外力做功为零。但此时合外p不一定为零，各分力做功也不一定都为零，请特别注意.（举例：水平面上的匀速圆周运动）6.应用动能定理时，要注意参考系的一致。即所有物理量（如位移，速度）都取自同一参考系（参照物）。7.参考系应选用惯性系。8.动能定理刻画了合外力的功与动能之间的变化关系。同样的，其他性质的力和其相应能量之间的也有类似的恒等关系式，我们统称其为功能关系。在动能定理的基础上运用功能关系进行恒等变换，加以条件限制，便得出了一系列守恒定律，如机械能守恒定律等。条件限制对于这些守恒定律是很重要的，如机械能守恒定律的条件是除重力、弹力外没有其他力做功。9.动能定理、功能关系、能量守恒定律，虽然其表现形式和意义都不尽相同，但都是等价的。解决问题时，只需采用其中一个即可。

系统

    由质点的动能定理，我们还可以得出更一般的系统的动能定理。    系统各组分合外力做功的代数和等于系统各组分动能增量的代数和∑（∑W）=∑（△Ek）在大多数情况下，系统各组分之间相互做的功其代数和都是零，此时应用系统的动能定理更为方便.但当系统各组分之间相互做功代数和澄零（如存在弹簧，相互引力、斥力等）的情况，应考虑内力做功，特别注意！    Fscosα代表作用在运动质点上的合外力的功（α代表力和水平方向的夹角）。应从动能定理深入领会“功”和“动能”两个概念之间的区别和联系。动能是秤澄锾灞旧碓硕状态的物理量。此定理体现了功和动能之间的联系。称为定理的原因是因为它是从牛顿定律，经数学严格推导出来的，并不能扩大其应用范围。由于动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，不论物体运动的路径如何，因而在只涉及位置变化与速度的力学问题中，应扯能定理比直接运用牛顿第二定律要简单。

推导过程

分析

（1）确定研究对象，研究对象可以是一个质点（单常┮部梢允且桓鱿低场（2）分析研究对象的受力情况和运动情况，是否是求解“力、位移与速度关系”的问题。（3）若是，根据动能定理ΔW=ΔEk列式求解。

处理多过程问题

    应用动能定理处理多过程运动问题关键在于分清整个过程有几个力做功，及初末状态的动能，采用动能定理处理问题无需考虑其具体的运动过程，只需注意初末状态即可，求往复运动的总路程及次数问题，若用牛顿定律和运动学公式求解，必须用数列求和的方法，但对于其中的某些问题求解，如用动能定理求解，可省去不少复杂的数学推演，使解题过程简化。

推导

    对匀加速直线运动有：    由牛顿第二运动定律得， ①匀加速直线运动规律有， ②①×②得，外力做功  ，记  ， 即 对于非匀加速直线运动,进行无限细分成n段，于是每段都可看成是匀加速直线运动（微元法思想）对于每段运动有,W1=Ek1-Ek0W2=Ek2-Ek1……Wn=Ekn-Ek（n-1）将词饺部相加得推导完毕