理论力学基础-14.2自由度系统的振动
第二节单自由度系统的振动
一、无阻尼自由振动
设有质量为m的重物（可视为质点）悬于弹簧的下端，如图14-3所示，弹簧的自然长度为l0，刚性系数为k，如不计弹簧的质量，这就构成典型g单自由度振动系统，称为质量-弹簧系统。很多实际振动问题可以简化为这种动力学模型。现在分析重物沿铅垂方向作直线运动的规律。
图14-3
取重物的平衡位置为坐标原点O，x轴铅垂向下。重物在平衡位置时弹簧的变形称为静变形，以 
表示，由平衡条件得知重l平衡时重力与弹簧拉力大小相等而方向相反，即
当重物在距平衡位置为x时，其所受的力有重力W，方向朝下，弹簧的拉力Fk，其大小为 
，方向朝上，故作用于重物的合力在x轴上的投影为：
上式表明合力的大小与重物离开平衡位置的位移x成正比，即为线性关系，其方向恒与x的方向相反，亦即恒指向重物的平衡位置。这种使重物恢复到平衡位置的力称为恢复力。只在恢复力作用下所引起的振动称为自由振动1
由牛顿第二定律得重物的运动微分方程为
令
则得
（14-1）
式（14-1）为无阻尼自由振动的微分方程的标准形式，其的通解为
（14-2）
式中C1,C2为积分常数，这两个积分常数可以用另外两个积分常数A及θ表示如下：
将其代入式（14-2），则得式（14-1）通解的另一种表达形式
（14-3）
由此可见，单自由度系统在线性恢复力作用下的自由振动是在平衡位置（振动中心）附近作简谐运动。式（14-3）中A是重物偏离振动中心的最大距离，称为振动的振幅，它反映自由振动的范围和强弱； 
称为振动的相位值ノ皇莚ad（弧度）；而θ是t=0时的相位，称为振动的初相位。相位每增加2π，重物即振动一次。
将式（14-3）对时间求导，得重物的速度方程为
（14-4
可见重物运动到平衡位置时速度最大，最大值为 
；速度的相位比位移超前π/2 。
将式（14-4）对时间求导，则得重物的加速度方程为
即
（14-5）
这表明加速度的代数值与重物的位置坐标成正比而符号相反；加速度的相位比位移超前π。
振幅A和初位相a可以由运动的初始条件确定。设t=0时，
，代入式（14-3）及（14-4）得
由此求得
（14-6）
或
简谐运动是周期运动，如图14-4所示，每隔一定时间运动就重复一次，我们把运动每重复一次所需的时间T称为振动的周期，单位是s（秒）。因为正弦函数的周期为2π，由式（14-3）可知
（14-7）
图14-4
周期的倒数即每秒内振动的次数，称为振动的频率，用f表示，即
（14-8）
频率的单位为Hz（赫兹），1Hz表示每秒振动1次。
由式（14-8）可得
（14-9）
可见， 
代表2π秒内振动的次数，所以 称为圆频率，其单位为rad/s (弧度/秒)。
圆频率 完全取决于系统本身的参数，即重物的质量m和弹簧的刚性系数k，而与运动的初始条件无关，它反映了振动系统固有的动力学特性，所以称 为固有圆频率，一般称为固有频率，显然，振动系统的固有频率可通过调整系统的参数m和k来加以改变。
固有频率是振动理论中一个极其重要的概念，计算固有频率 是振动理论中的一个重要课题。系统在铅垂方向振动时， 除了可直接由式（14-9）求得，还可以根据弹簧的静变形 来求得。由 
，得
：
代入式（14-9）得
（14-10）
因此只要求出（计算或测量）振动系统在重力作用下的静变形就可得到系统的固有频率。
二、有阻尼衰减振动
无阻尼自由振动为简谐运动，其振幅及周期是恒定的，运动将一直持续下去。但实际上由于存在阻力而不断地消耗系统的能量，使自由振动随时间逐渐衰减直至完全停息。
工程中常见的阻尼有各种不同的形式，如物体在介质（空气、水、油等）中运动时的粘滞阻尼、物体沿接触面滑动时的干摩擦阻尼、物体内部摩擦产生的结构阻尼及高速运动物体所受到的非线性阻尼等。由实验得知，当物体以低速在阻尼介质中运动时，介质给予物体的阻力近似地与物体速度的一次方成正比，而方向与速度方向相反，即
式中c称为粘滞阻尼系数，它决定于物体的形状、尺寸及介质的性质，单位是N·s/m；负号表示阻力的方向恒与速度的方向相反。这种阻尼称为线性阻尼。我们仅研究这种阻力对于自由振动的影响。
具有阻尼的单自由度系统的振动模型如图14-8所示。取平衡位置O为坐标原点，x轴铅垂向下。当重物在离原点x处时，重物除受重力W及弹性力Fk作用外，还有粘滞阻力Fc，力Fk和Fc在x轴上的投影为
图14-8
于是重物的运动微分方程为
上式各项同时除以m，并令
n称为阻尼系数，单位是1/s，则上式可写为
（14-11）
这就是具有阻尼的自由振动微分方程的标准形式，其通解与参数n、 值的相对大小有关，下面分三种情形讨论。
1. 小阻尼情形（n< ）
在此情形下式（14-11）的通解为
（14-12）
式中A和θ是积分常数，可由初始条件确定。仿照无阻尼自由振动的求法，可得
（14-13）
由式（14-12）看出，在小阻尼情形，重物已不再是等幅的简谐运动，严格来说也不是周期运动。 
表示重物2期性地通过平衡位置，运动仍有往复性质；而
则表示重物离平衡位置的最大值随时间的增加而迅速减小，最后趋于零。与无阻尼自由振动情形相比较，这样的运动称为衰减振动，即作"衰减"的"简谐运动"。习惯上将 称为"瞬时振幅"，将 
ノ衰减振动的"频率"，而衰减振动的"周期"为：
（14-14）
可见
这表明在相同的质量及刚性系数的条件下，衰减振动的周期较长。但当阻尼很小时，对于周期的影响并不显著。例如，当
时，Td=1.00125T；当 
时，Td=1.048T；因此，可近似地认为与无阻尼自由振动的周期相等。
值得注意的是振幅衰减的情况。设在任意瞬时t的振幅为 ，经过一个周期Td，振幅将变为 
，其比值为
（14-15）
可见，振幅是按几何级数迅速衰减的，其公比η称为减幅系数，其自然对数的绝对值为
（14-16）
δ称为对数减幅系数。例如，当 时， 
，这就是说每振动一次振幅衰减27%，经过10次振动后振幅将减少为原来的 
，即4.3%。虽然阻尼很小，但是振幅的衰减是很显著的。随着n值的增加，振幅衰减得更快。
图14-9a表示无阻尼自由振动的情形，图14-9b表示衰减振动的情形，从图中可以看到振幅是在曲线 
与 
之间逐次递减。
图14-9
2. 大阻尼情形（n> ）
在此情形下式（14-11）的通解为
（14-17）
式中C1，C2及A，θ是积分常数，由初始条件确定。显然，上式所代表的运动是非周期性的，而且随着时间的增大，x逐渐趋于零，运动不具有振动的特性。工程上在一些电工仪表中，为了消除指针在游丝上的振动，常使n> ，使指针能迅速稳定在所指的准确读数上。
3. 临界阻尼情形（n= ）
在此情形下式（14-11）的通解为
（14-18）
显然，上式所代表的运动也是非周期性的。当n= 时，重物的运动开始失去振动的特性，所以对应的阻力系数称为临界阻尼系数，以 
表示，即
令
式中，ζ称为阻尼比。
综上所述，w知重物在线性小阻尼（n< ）情形下作衰减振动，阻力对周期影响不显著，但使振幅按几何级数迅速衰减；而在临界阻尼（n= ）和大阻尼（n> ）情形下运动已无振动性质，而逐渐趋于平衡位置。
三、有阻尼强迫振动
下面研究系统在外界干扰力（或激振力）作用下引起的振动。干扰力是指随时间变化的力，由于干扰力所引起的振动称为强迫振动。这种运动在实际问题中具有重要的意义。偏心电动机在基础上的振动；火车车厢行驶时在轨道接缝处所产生的振动都是在干扰力作用下所引起的强迫振动。
干扰力是多种多样的，简谐干扰力是工程上常遇到的最简单的干扰力，其他形式的力可以近似地用各种简谐函数的组合表示。
设干扰力按正弦规律变化，其表达式为
式中，F=F0是干扰力的最大值称为干扰力幅，ω是干扰力的圆频率。如图14-11a所示，电动机的偏心转子以角速度ω转动时，其离心力F0沿铅垂方向的分量为
，它即相当于上述的干扰力，系统可简化成图14-11b所示的质量-弹簧系统。
图14-11
下面研究在这种干扰力作用下所引起的运动，仍讨论质量-弹簧系统，如图14-12所示。在任意位置x时，重物除受重力W、弹性力Fk、干扰力F及线性粘滞阻力Fc的作用。于是重物沿x轴的运动微分方程为
或
上式各项均除以m，并令
则上式可写为
（14-19）
这就是强迫振动的运动微分方程。
图14-12
当n< 时，式e14-19）的通解为：
（14-20）
式中，A和α为积分常数，由初始条件确定；常数B和φ为
（14-21）
（14-22）
式（14-20）中第一项表示的自由振动部分将随时间的增加而迅速地衰减，经过一定时间后这种运动即行消失，称为瞬态振动，因此除研究过渡过程即振动过程的开始阶段外，一般在研究稳态过程时这部分运动可忽略不计。现在我们着重研究式（14-20）中第二项表示的强迫振动部分
（14-23）
上式表明具有阻尼的强迫振动仍为等幅简谐运动，其振幅与运动的初始条件无关，而且也不因有阻尼而衰减，故称为稳态振动，其频率及周期等于干扰力的频率及周期，与阻力无关，但阻力使运动落后于干扰力一个相位差φ。
由式（14-21）可以看出，阻力使强迫振动的振幅减小。将该式改写为
（14-24）
式中
B0为弹簧的静变形。
令
式中 λ称为频率比，ζ称为阻尼比，β称为动力放大系数。
则式(14-24)又可改写为
（14-25）
对应于不t的阻尼比ζ的值，由上式可得到一系列的振幅-频率曲线，称为幅频特性曲线，如图14-13所示。
图14-13
(1)当λ<<1，即ω<<ωn时，干扰力处于低频段，各条曲线的动力放大系数β都接近于1。
(2)当λ>>1，即ω>>ωn 时，干扰力处于高频段，各条曲线的动力放大系数β都接近于零。
(3)当0<λ<1 时，对于确定的ζ值，动力放大系数β有相应的最大值。
由
可求得当 
时的β的最大值为
（14-26）
也就是说，当 
时，振幅B达到最大值
（14-27）
当重物以此最大振幅振动时，就是共振现象，与此相当的频率称为临界频率。当阻力不大时可近似地视为当ω=ωn时发生共振，其最大振幅由式（14-21）可知为
（14-28）
随着阻尼的增加，共振频率逐渐向低绶较蛞贫，最大振幅将迅速减小，而当
时，振幅将不再有最大值，共振现象也就不存在了。
(4)阻力对于振幅的影响在共振区附近是显著的，但是在远离共振区时则不甚显著缈梢圆豢悸亲枇Φ囊蛩亍
由于系统在共振时的振动很剧烈，极易造成工程上的危害。但有时也利用共振现象，如共振筛、振动送料机等。工程上将ω=ωn附近的区域(0.75≤λ≤1.25)称为共振区。
共振特性还可以从位相角φ上看出。由式（14-22）得
（14-29）
式（14-29）为不同的阻尼比ζ下相位φ随频率比λ的变化规律，其对应的曲线称为相频特性曲线。由上式可知，当λ=1（共振）时φ=±90°。即当系统出现共振时，系统强迫振动的响应滞后或超前干扰力90°相位角。在复杂系统中，它常常可作为确定系统特性的重要依据之一。由图14-13可看出，阻尼是抑制共振幅值的最有效的手段之一。
例14-1 机器上所有的弹簧往往不只是单个，而是由几个弹簧并联或串联等组成的，试求图14-5所示的系统的等效刚性系数及固有频率。
【解】
（1）弹簧并联时，如图14-5a所示。在重力W作用下两个椿刹生的静变形相等，由重物的平衡条件可得
将并联弹簧看成为一个弹簧，即令
称为并联弹簧的等效刚性系数，由上式可得
即 并联弹簧的等效刚性系数等于各弹簧刚性系数之和。说明并联后总的刚性系数增大了。
该系统的固有频率为
图14-5
（2） 弹簧串联时，如图14-5b所示。在重力W作用下每个弹簧所受的拉力相同，因而每个弹簧的静变形为
而串联弹簧的总的静变形等于每个弹簧的静变形之和，即
将串联弹簧看成为一个弹簧"即令
称为串联弹簧的等效刚性系数，由上式可得
因此
可见 比k1和k2小，所以串联弹簧的等效刚性系数比原来那一个弹簧的刚性系数都小。说明串联后总的刚性系数降低了。
该系统的固有频率为
如果由更多的弹簧组成串联和并联，其等效刚性系数和系统的固有频率可以按照上面的计算方法加以推广即可。
例14-2 齿轮重W，装于轴的中点，如图14-6a所示。已知轴的弹性模量为E，惯性距为J，长为l，不计轴的质量，试求此系统作横向振动的固有频率。
【解】
齿轮轴可视为中点受集中力W的简支弹性梁，如图14-6b所示。梁相当于弹簧，集中荷载相当于重物，因此可以简化为质量-弹簧系统，而梁中点的静挠度 相当于弹簧的静变形，如图14-6c所示。
图14-6
静挠度 可以直接测定或由材料力学中梁的挠度公式求出
由式（14-10）得知此系统的固有频率为
例14-3 一摆振系统如图14-7a所示，杆重不计，球的质量为m，摆对轴O的转动惯量为J，弹簧的刚性系数为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。试求此系统微小振动的运动微分方程及固有频率。
图14-7
【解】
摆在水平位置平衡时，弹簧已有压缩量 ，由平衡方程
得
(1)
以平衡位置为原点，摆在任一微小角度φ处，弹簧的压缩量为 
。根据摆绕O轴的定轴转动微分方程
有
(2)
将式(1)代入式(2) ，得
(3)
这就是摆振系统微小振动的运动微分方程。摆振系统的固有频率为
例14-4 质量为m=5kg的重物挂在刚性系数k=20N/m的弹簧上，已知介质阻力与速度的一次方成正比，经4次振动后振幅减到原来的1/12，试求振动的周期和对数减幅系数。
【解】
重物在瞬时t的振幅为 
，4次振动即（t+4Td）时的振幅为 
，而已知两者的比值为
因此对数减幅系数为
（1）
系统的固有频率为
（2）
衰减振动的周期为
（3）
由式（1）、（3）消去n，并代入 之值，可得
与无阻尼自由振动的周期 
比较，可见周期增大甚微。这是由于
例14-5 图14-10所示是测量液体阻力系数装"的简图，质量为m的重物挂在弹簧上，在空气中测得振动的频率为f1，放于液体中测得的频率为f2，试求此液体的粘滞阻尼系数。
图14-10
【解】
将重物在空气中的振动近似的视为无阻尼的自由振动，其振动频率为
在液体中则为衰减振动，其频率为
由此得到：
因c/m=2n，故此液体的阻力系数为
