理论力学基础-12.2功的概念和计算

第二节功的概念和计算
    力对物体的作用效果可以有各种度量。力的冲量是力在一段时间内对物体作用效果的度量。力的功则是力在其作用点所经过的一段路程中对物体的用效果的度量一、常力的功设有一质点M在常力F的作用下沿直线运动，如图12-3所示。若质点由M1处移至M2的路程为s，则力 在路程s中所作的功定义为

 （12-7）

图12-3

   由上式可知，功是标量，可为正、负或零。功的量纲为

dimW=[M][L][T]-2·[L]=[M][L]2[T]-2

    在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。

二、变力的功

    设有质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图12-4所示。将曲线M1M2分成无限多个微段ds，在这一段弧长内，力F可视为不变，于是由式（12-7&得到在ds路程中力所作的微小功或称元功为

    因为力F的元功不一定能表示为某一函数W的全微分，故采用符号d''。变力&曲线M1M2上所作的功等于在此段路程中所有元功的总和，即

图12-4

(12-8)

    式中 s1和s2分别表示质点在起止位置时的弧坐标。
    上式为沿曲线M1M2的线积分，其值一般与路径有关，并可化为坐标积分。
     将

    代入元功的表达式，得

    于是力F在M1M2路程上的功为

（12-9）

    上式称为功的解析表达式。 

三、合力的功

    设质点M受力系 的作用，它的合力为

    则质点的合力FR的作用"沿有限曲线M1M2所作的功为

    即

（12-10）

    上式表明：作用于质点的合力在任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中所作的功的代数和。

四、常见力的功

1．重力的功

    设质量为m5质点M，由M1沿曲线M1M2运动到M2，如图12-5所示。重力mg在直角坐标轴上的投影为

Fx=0 Fy=0 Fz= -mg

    代入式（12-9），可得重力在曲线M1M2上的功为

（12-11）

    式中 h=z1-z2--质点起止位置的高度差。
    上式表明：重力的功等于质点的重量与起止位置间的高度差的乘积，而与质点的运动路径无关。若质点M下降，h为正值，重力作功为正；若质点M上升，h为负值，重力作功亦为负。

图12-5

    对于质点系，重力作功为

（12-12）

    式中 m--质点系质量；
h=zC1-zC2--质点系质心起止位置间的高度差。

2．弹性力的功

    设质点M与弹簧联结，如图12-6所示，弹簧的自然长度为l0，在弹簧的弹性极限内，弹簧作用于质点的弹性力F的大小与弹簧的变形δ（伸长或压缩）成正比，即

图12-6

    式中比例系数k称为弹簧刚度系数。在国际单位制中，k的单位为N/m，因此，当质点M由弹簧变形为δ1处沿直线运动至变形为δ2处时，弹性力的功

（12-13）

    可以证明，当质点的运动轨迹不是直线时，弹性力的功的表达式（12-13）仍然是正确的。上式表明：弹性力的功等于弹簧的起始变形与终止变形的平方差和刚度系数的乘积的一半，而与质点运动的路径无关。

3．平动刚体上力的功

    当刚体作平动时，刚体内各点的位移都相同，若以质心C的位移drc代表刚体的位移，则刚体从M1点运动到M2点时作用于刚体上力系的功为

（12-14）

    式中 为作用于刚体的力系上的主矢。

4．定轴转动刚体上力的功 力偶的功

    设刚体绕定轴z转动，一力F作用在刚体上M点，如图12-7所示。将力F分解成三个分力；平行于z轴的力Fz，沿M点运动轨迹的切向力Fτ和沿径向方向的力Fr。若刚体转动一微小转角dφ，则M点有一微小位移ds=rdφ，其中r是M点的转动半径。由于Fz和Frb不作功。则力F所作的功等于切向力Fτ所作的功。故力F在位移ds中的元功为

图12-7

式中 (F)是力F对于转动轴z之矩，即

（12-15）

    上式表明：作用于定轴转动刚体上的力的元功，等于该力对转动轴之矩与刚体微小转角的乘积。
    当x体转过一角度（即有角位移）φ2-φ1时，由式（12-15）可得力F所作的功

（12-16）

若 为常量，则

（12-17）

    如果在转动刚体上作用一个力偶，其/偶矩为M，该力偶作用面与转动轴垂直，则力偶对转动轴z的矩为M。因此，力偶的功可表示为

（12-18）

    若力偶矩为常量，则

（12-19）

5．平面运动刚体上力系的功

    设平面运动刚体上有一组力系作用，取刚体的质心C为基浚当刚体有无限小位移时，任一力Fi作用点Mi的位移为

    其中drC为质心的无限小位移，driC为质点Mi绕质心C的微小转动位移，如图12-8所示。

图12-8

    力Fi在点Mi位移上所作的元功为

    设刚体无限小转角为dφ，则转动位移drC抬起垂直于直线MiC，大小为MiCdφ，因此，上式后一项

    式中θ--力Fi与转动位移 间的夹角；
    MC(Fi)--力Fi对质心C的矩。
    则力系全部力所作的元功之和为

    式中FR--力系主矢；
    MC--力系对质心C的主矩。
    刚体质心C由C1移到C2，同时，刚体又由φ1转φ2到时，力系作功为

（12-20）

    例12-2 重9.8N的滑块放在光滑的水平槽内，一端与刚度系数k=50N/m的弹簧连接，另一端被一绕过定滑轮C的绳子拉住，如图12-9a所示。滑块在位置A时，弹簧具有拉力2.5N。滑块在20N的绳子拉力作用下由位置A运动到位置B，试计算作用于滑块的所有力的功之和。已知AB=200mm，不计滑轮的大小及轴承摩擦。

图12-9

【解】

    取滑块为研究对象，对其进行受力分析。在任一瞬时，滑块在离A点x距离处其受力图如图12-9b所示。滑块受力有重力G，水平槽法向约束力FN，弹性力F及绳子拉力FT。
由于重力G、法向约束力FN均与滑块的运动方向垂直，因此它们作功为零，即

    弹性力F作的功：设以δ1，δ2分别表示滑块在位置A、B处弹簧的变形，则有

    得

    拉力FT作的功：由图12-9a可知，拉力FT与x轴的夹角余弦为

    得

    所以，滑块从位置A运动到位置B时，作用于滑块上的所有力的功之和为