理论力学基础-15.1动力学普遍方程

第十五章 拉格朗日方程

    在第十三章中曾经指出，根据达朗伯原理可以把动力学问题化成静力学问题的形式来处理，在第四章中讨论的虚位移原理是任意质点系平衡的普遍原理。本章中我们首先将这两种原理结合应用得到动力学普遍方程，然后将其用广义坐标的形式表示，推导出更便于求解非自由质点系动力学问题的拉格朗日方程。

第一节动力学普遍方程

 设一运动着的质点系，其中第i个质点的加速度为ai，质量为mi，依达朗伯原理在每一瞬时作用在该质点上的主动力Fi，约束力FNi以及假想加在质点上的惯性力FIi= －mai组成平衡力系，即
Fi + FNi+ (－mai) = 0 (i=1，2，…，n)

    应用虚位移原理，给质点系任一组虚位移δri (i=1，2，…，n)，则质点系上所有主动力，约束力和惯性力在这虚位移中作的元功之和应等于零。于是可得

    假定质点系所受的约束是理想约束，则所有约束力在虚位移中的元功之和恒为零，于是上式可写

(15-1)

    如用直角坐标系，式（15-1）可写成

(15-2)

    式中 分别是 和 在直角坐标轴上的投影。
    式（15-1）和式（15-2）称为动力学普遍方程，这一方程表明:具有理想约束的质点系运动时, 在任一瞬时，作用于质点系的所有主动力和惯性力在任一虚位移中所作元功之和等于零。

下面举例说明这一方程的应用.

    例15-1 调速器以匀角速度w绕铅垂轴转动，如图15-1所示。刚性系数为k的弹簧被固定在调速器上臂的A，B两点，当θ=0时弹簧无伸缩。上臂的悬挂轴与转动轴相距为e。已知飞球C，D质量均为m1,套筒质量为m2，各臂长均为l，其自重不计。试求角速度ω与张角θ之间的关系。

图15-1

【解】

    以整个调速器为研究对象。作用于调速器的主动力有飞球C，D的重力m1g，套筒E的重力m2g，以及弹簧的弹性力F。当调速器匀速转动时张角θ不变，飞球作匀速圆周运动，其法向加速度为 , 套筒E在转动轴上，其质心加速度为零。将飞球视为质点，在飞球C，D上分别加上惯性力FIC和FID

(1)

    方向如图15-1。在图示坐标系下由动力学普遍方程式（15-2）得

(2)

    式中假定各主动力和惯性力作用点的虚位移在坐标轴上的投影都是正的。由图知

    上列各式取坐标变分，得

(3)

    又当飞球张开并有张角θ时弹簧的伸长为 ，所以弹性力为

(4)

将式（1）、式（3）和式（4）代入式（2），化简后得

因 ，所以求得

    例15-2 两个半>均为r的均质圆轮，中心用连杆相连，在倾角为θ的斜面上作纯滚动，如图15-2所示。设轮子质量皆为m1，对轮心的转动惯量皆为J，连杆质量为m2，试求连杆运动的加速度。

图15-2

【解】

    取整个刚体系统分析。系统上作用的主动力有每个轮子的重力m1g和杆的重力m2g。连杆作平动，设其加速度为a，圆轮作平面运动轮心加速度与连杆相同，角加速度为α。虚加在每个轮上的惯性力 和惯性力偶 ，加在连杆上的惯性力,方向如图所示。

    给连杆以平行斜面向下的虚位移δs，则轮子相应有逆时针转动虚位移δφ，由动力学普遍方程，得

    将各惯性力和惯性力偶代入，并注意到 ，所以上式可写成

解得

    例15-3 三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面运动，如图15-3所示。A和B的质量各为mA与mB，斜面的角度为φ，摩擦略去不计。试求三棱柱B的加速度。

图15-3

【解】

    取三棱柱A和B分析。系统受理想约束且有两个自由度，选B块水平坐标xB及A块相对块沿斜面的坐标sA为广义坐标，系统有两个独立的虚位移dxB和dsA。系统的主动力有mAg与mBg。A和B均作平动，设B的加速度为aB方向向左iA沿斜面下滑的加速度为相对加速度ar，其牵连加速度为ae，故A的绝对加速度aa=ar+ae。

    B的惯性力 ，A的惯性力由牵连惯性力和相对惯性力两项i成，即 和 ，方向如图15-3a所示。

    先令 ，如图15-3b所示，根据式(15-1)有

即

(1)

再令 ，如图15-3c所示，根据式(15-1)有

即

(2)

联立式（1）、式（2）得