理论力学基础-13.4轴转动刚体的轴承动反力
第四节定轴转动刚体的轴承动反力
在高速转动的机械中，由于转子质量的不均匀性以及制造或安装时的误差，转子对于转轴常常产生偏心或偏角，转动时就会引起轴的振动和轴承动反力。这种动反力的极值有时会达到静反力的十倍以上⒁虼耍如何消除轴承动反力的问题就成为高速转动机械的重要问题。下面将着重研究轴承动反力的计算和如何消除轴承动反力。
一、一般情况下转动刚体惯性力系的简化
现在研究一般情况下定轴转动刚体的惯性力的简化问题。
如图13-11所示，设刚体绕定轴z转动，在某瞬时的角速度为ω，角加速度为α。在质点Mi上虚加惯性力
图13-11
则惯性力系向O点简化的主矢为
(13-8)
惯性力系向O点简化的主矩可用在x、y、z三坐标轴上的投影MIOx、MIOy、MIOz来表示。根据合力矩定理，有
质点惯性力 
可以分解为切向惯性力 
和法向惯性力 
，它们的方向如图所示，大小分别为
则
由图13-11可知
于是得
(13-9)
式中 
和 
取决于刚体p量对于坐标轴分布的情况，并具有转动惯量的量纲，分别称为刚体对通过O点的轴x、z和轴y、z的惯性积，也称为离心转动惯量。惯性积可正、可负，也可为零。
同理可得惯性力系对于y轴的矩为
(13-10)
因为各质点的法向惯性力通过轴线，有 
，于是有
(13-11)
式中负号表示力矩转向与角加速度转向相反。
二、一般情况下轴承的动反力
设刚体绕AB轴转动，如图13-12所示，某瞬时的角速度为ω，角加速度为α。作5于刚体的主动力系和虚加于刚体的惯性力系向转轴上任一点O简化，分别得力 
和 
，力偶矩矢MO和MIO。轴承A、B的约束反力如图所示。
图13-12
为求轴承反力，取O点为直角坐标系的>点，z轴为转轴。根据达朗伯原理，可列出下列六个平衡方程
由前五个方程解得轴承反力
(13-12)
由式(13-12)可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内，止推轴承沿z轴的反力FBz与惯性力无关；与z轴垂直的轴承反力FAx、FAy、FBx、FBy由两部分组成：（1）由主动力引起的静反力；（2）由惯性力引起的动反力。
要使动反力等于零，必须有
即 轴承动反力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和y轴之矩等于零。
由式(13-8)、式(13-9)和式(13-10)知
由此可见，要使惯性力系主矢等于零弑匦胗衋c=0，即转轴必须通过质心；要使惯性力系对于x轴和y轴之矩等于零，必须有 
，即刚体对于转轴的惯性积等于零。
如果刚体对于通过O点的z轴的惯性积Jxz和Jyz等于零，则此z轴称为该点的惯性主轴，通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。因此，避免出现轴承动反力的条件是：刚体的转轴应为刚体的中心惯性主轴。
三、定轴转动刚体的静平衡和动平衡的概念
设刚体的转轴通过质心，且刚体除受到重力作用外，没有受到其它主动力的作用，则刚体在任何位置均能保持静止不动，这种现象称为静平衡。当刚体绕定轴转动时，不出现轴承动反力的现象称为动平衡。
在工程，为了消除轴承动反力，对转速较高的物体如汽轮机转子、电动机转子等，要求转轴是中心惯性主轴，所以一般将它们设计成具有对称轴或有对称面，并且转轴是对称轴或通过质心并垂直于对称面。然而在实际上，由于在制造或安装中难免出现误差，以及材料的不均匀性等，转子的质心和轴的方位仍然会产生一定的偏离，需要在一定的试验设备上进行静平衡或动平衡试验加以校正。
例13-6 涡轮机转子总质量m=200kg，支承在向心推力轴承A和向心轴承B内，绕铅垂轴以转速n=6000r/min转动，如图13-13所示。已知转轴与转子的对称平面垂直，但其质心偏离转轴的距离e=0.5mm，轴承间的距离AB=2AD=h=1m。试求轴承的总反力和动反力
图13-13
【解】
(1)取转子及转轴整体为研究对象。选取静止坐标系Axyz，原点在A点，z轴与AB重合。为了简便，分析时设质心C处在Ayz平面内，这并不影响解答的一般性。
转子及转轴所受外力为：重力W，轴承反力FAx、FAy、FAz和FBx、FBy。
(2)虚加惯性力系：因为转子具有垂直于转轴的对称面，其惯性力系向z轴与对称面交点D简化可得惯性力 
，惯性力偶 
。
(3)根据达朗伯原理，列平衡方程
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
其中
解方程得轴承总反力为
轴承动反力为
由此可见，虽然转子偏心矩只有0.5mm，但动反力的值达到转子本身重量的10倍，是静反力的近两万倍，它会引起转子振动，加快轴承磨损等不良后果，这是不容忽视的。
上面求得的总反力只是转子质心处在Ayz平面内的瞬时情况。实际上在转子转动一周的时间内，除FAz外，各反力在轴上的投影随质心位置不同，每瞬时都在变化，这可以通过质心在不同位置时的平衡方程计算出来。工程中特别关心其方向和最大值如何，上面求得的FAy和FBy值就是绝对值最大的径向反力。