理论力学基础-13.1达朗伯原理

第十三章 达朗伯原理

    达朗伯原理是一种解决非自由质点和质点系动力学问题的普遍方法。这种方法是用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。

第一节达朗伯原理

一、 质点惯性力的概念

    当质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时，由于质点本身的惯性，对施力物体产生反作用力，这种反作用力称为质点的惯性力。惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，但作用于施力物体上。若用FI表示惯性力，则 。

    例如，工人沿光滑的水平直线轨道推动质量为m的小车，作用力为F，小车在力的方向上产生加速度a，有 。根据作用反作用定律，此时工人手上必受到小车的反作用力FI，此力是由于小车具有惯性，力图保持其原来的运动状态，对手进行反抗而产生的，即小车的惯性力，有 。

二、质点的达朗伯原理

    设质量为m的质点M，受主动力F和约束反力FN的作用，沿曲线运动，产生加速度a，型13-1所示。根据牛顿第二定律，有

    此时质点由于运动状态发生改变，它的惯性力为

    将以上两式相加，得

(13-1)

    上式表明：任一瞬时，作用于质点上的主动力、u束反力和虚加在质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。

图13-1

    必须指出u由于质点的惯性力并不作用于质点本身，而是假想地虚加在质点上的，质点实际上也并不平衡。式(13-1)反映了力与运动的关系，实质上仍然是动力学问题，但它提供了将动力学问题转化为静力学平衡问题的研究方法。这种方法对求解质点的动力学问题并未带来明显的方便，但在研究方法u显然是个新的突破，而且，它对求解非自由质点系的动力学问题是十分有益的。

三、质点系的达朗伯原理

    设有n个质点组成的非自由质点系，取其中任意一质量为mi的质点Mi，在该质点上作用有主动力Fi，约束反力FNi，其加速度为ai。根据质点的达朗伯原理，如在质点Mi上假想地加上惯性力 ，则Fi、FNi和FIi构成一平衡力系，有

    对质点系的每个质点都作这样的处理，则作用于整个质点系的主动力系、约束力系和惯性力系组成一空间力系，此时力系的主矢和力系向任一点O简化的主矩都等于零，即
　 　　

(13-2)

    上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的主动力系、约束力系和虚加在质点系上惯性力系在形式上构成一平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。

    如果将力系按外力系和内力系划分，用 和 分别表示质点系外力系主矢和内力系p矢； 和 分别表示质点系外力系和内力系对任一点O的主矩，由于质点系内力系的主矢和主矩均等于零，故式(13-2)可以改写为

（13-3）

    上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的外力系和虚加在质点系上的惯性力系在形式上构成一平衡力系。

例13-1 质量m=10kg的物块A沿与铅垂面夹角θ=60o的悬臂梁下滑，如图13-2a所示。不计梁的自重，并忽略物块的尺寸，试求当物块下滑至距固定端O的距离l=0.6m，加速度a=2m/s2时固定端O的约束反力。

图13-2

【解】

(1)取物块和悬臂梁一起为研究对象，受有主动力W，固定端O处的约束反力FOx、FOy、MO。

(2)虚加惯性力：物块的惯性力大小F1=ma ，方0与物块的加速度方向相反，加在物块上，如图13-2b所示。

(3)根据达朗伯原理，列平衡方程

　　
    从本例可见，应用质点达朗伯原理求解时，在受力图上惯性力的方向要与加速度方向相反，惯性力的大小为F1=ma，不带负号。

例13-2 如图13-3a所示，重量WA=WB=W的两个物块A和B，系在一无重软绳的两端，软绳绕过半径为R的无重定滑轮，光滑斜面的倾角为θ。试求物块A下降的加速度及轴承O的约束反力。

图13-3

【解】

    先取物块B为研究对象，所受的外力为绳索的拉力FT、重力WB、光滑斜面的约束反力FNB，虚加的惯性力为FIB，如图13-3b所示。取图13-3b所示坐标系，根据质点达朗伯原理，可列出平衡方程为

可得

    再取物块A、B及滑轮和绳索所组成的系统为研究对象。质点系的外力有两个物块的重力WA和WB，轴承O的约束反力FOx和FOy，及光滑斜面的约束反力FNB。虚加上惯性力FIA和FIB，如图13-3c所示。惯性力的大小为 。

    质点系的外力和惯性力组成一平面力系。选取图13-3c所示坐标系，并取O点为矩心，根据质点系达朗伯原理，列平衡方程，并注意到 ，有

(1)

(2)

(3)

由式(3)得

(4)

将式(4)代入式(1)、式(2)，得