理论力学基础-13.2刚体惯性力系的简化

第二节 刚体惯性力系的简化

    应用达朗伯原理解决质点系的动力学问题时，从理论上讲，在每个质点上虚加上惯性力是可行的。但质点系中质点很多时计算非常困难，对于由无穷多质点组成的刚体更是不可能。因此，对于刚体动⒀问题，一般先用力系简化理论将刚体上的惯性力系加以简化，然后将惯性力系的简化结果直接虚加在刚体上。

    下面仅就刚体作平动、定轴转动和平面运动三种情况，来研究惯性力系的简化。

一、刚体作平动

    刚体平动时，刚体上各点的加速度都相同，惯性力系构成一个同向空间平行力系。如图13-4所示，将此惯性力系向刚体的质心C简化，得惯性力系的主矢为

即

(13-4)

图13-4

惯性力系对质心C的主矩为

式中ri为质点Mi相对于质心C的矢径，由质心矢径表达式(3-25)知

式中rc为质心的矢径，由于质心C为简化中心，rc=0 ，于是有

上述结果表明：刚体作平动时，惯性力系简化的结果为一个通过质心的合力FIR，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。

二、刚体作定轴转动

    仅讨论工程中常见的比较简单的情况。设刚体具有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面。先将惯性力系简化为在质量对称平面内的平面力系，再将它向平面与转轴的交点O简化，如图13-5所示。

图13-5

    先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点Mi的质量为mi，加速度为ai，刚体的总质量为m，质心的加速度为aC ，则惯性力系的主矢为

    由质心公式

    对时间求两阶导数，可得

故有

(13-5)

    再研究惯性力系对坐标原点O的主矩。由于刚体转动时任一质点Mi的惯性力FIi可以分解为o向惯性力FIiτ和法向惯性力FIin，如图13-5所示。故惯性力系对O点的主矩为

即

(13-6)

    式中Jz为刚体对通过点O的转轴z的转动惯量，α为刚体转动的角加速度，负号表示主矩与a转向相反。

    上述结果表明：刚体绕垂直于质量对称平面的转轴转动时，惯性力系向转轴与对称面F交点O简化的结果为一个主矢和主矩。主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；主矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。

    下面讨论几种特殊情况：
1．刚体转轴不通过质心，作匀速转动

    如图13-6a所示，由于角加速度α=0，故 ，因而惯性力系简化为一通过O点的法向惯性力 ，大小等于 ，方向与质心法向加速度方向相反，其作用线通过质心C。

2．刚体绕质心轴转动，角加速度α≠０

如图13-6b所示，由于质心加速度aC=0，此时，惯性力系仅简化为一个力偶，其力偶矩。

图13-6

3. 刚体绕质心轴匀速转动

    如图13-6c所示，由于aC=0，α=0，惯性力系向O点简化的主矢和主矩都等于零。

三、刚体作平面运动

    仅讨论刚体具有质量对称平面，且刚体平行于对称平面作平面运动的情况。此时，刚体惯性力系可简化为在对称平面内的平面力系。刚体的平面运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动，将惯性力系向质心C简化，如图13-7所示，可得惯性主矢和主矩分别为

(13-7)

图13-7

    上式表明：具有质量对称平面且平行于此平面作平面运动的刚体，惯性力系向质心C简化的结果为一个主矢和一个主矩。主矢过质心C，大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；主矩的大小等于刚体对质心轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。