理论力学基础-12.3动能定理

第三节 动能定理
一、质点的动能定理
    设有质量为m的质点M在合力F的作用下沿曲线运动，如图12-10所示。根据动力学第二基本定律有ma=F，将该式投影在切线方向，得

图12-10

即

由于ds=vdt，将上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，可得

即

（12-21）

上式表明：质点动能的微分，等于作用在质点上的力的元功，这就是微分形式的质点动能定理。
将式（12-21）沿路径M1M2进行积分

得

（12-22）

    上式表明，在任一路程中质点动能的变化，等于作用于质点上的力在同一路程中所作的功，这就是积分（有限）形式的质点动能定理。它说明了机械运动中功和动能相互转化的关系。 

    从式（12-22）看出，若力作正功则质点的动p增加，即接收能量；若力作负功，则质点的动能减少，即输出能量，故可用动能 来度量质点因运动而具有的作功能力。
若作用于质点的力为常力或是质点位置坐标的已知函数，而质点的运动路程已知或相反为需求，解这类问题宜用有限形式的质点的动能定理。

二、质点系的动能定理

    取质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，作用在该质点上的力为Fi。根据质点的动能定理的微分形式有

    式中 表示作用于这个质点的力所作的元功。

    设质点系有n个质点，对于每个质点都可列出一个如上的方程，将n个方程相加，得

或

    式中 为质点系的动能，以Ek表示。于是上式可写成

（12-23）

    上式表明：质点系动能的微分，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。这就是质点系动能定理的微分形式，对式（12-23）积分，得

（12-24）

    式中EK1和EK2分别为质点系在某一段运动过程中的初始瞬时和终止瞬时的动能。上式表明：质点系在某一段运动过程中，动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。这就是质点系动能定理的积分形式。

三、理想约束

    约束反力作功等于零的约束称为理想约束。如光滑接触面、光滑铰支座、固定端、一端固定的绳索等约束都是理想约束。光滑铰链、二力杆以及不可伸长的细绳妥魑系统内的约束时，也都是理想约束。如图12-12a所示的铰链，铰链处相互作用的约束力F和F''是等值反向的，它们在铰链中心的任何位移dr上作功之和都等于零。又如图12-12b中，跨过光滑定滑轮的细绳对系统中两个质点的拉力F1=F2，如绳索不可伸长，则两端的位移dr1和dr2沿绳索的投影必相等，因而F1和F2二约束力作功之和等于零。至于图12-12c所示的二力杆对A、B两端的约束力，有F1=F2，两端位移沿AB连线的投影又是相等的，显然约束反力F1、F2作功之和也等于零。

图12-12

    一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力作负功，不是理想约束，应用动能定理时要计入摩擦力所作的功。但当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦力作用p位移为零，此时的滑动摩擦力不作功。因此，不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点是理想约束。

    在理想约束条件下，质点系动能的改变只与主动力作功有关，式（12-23）和（12-24）中只需计算主动力所作的功，这对动能定理的应用是非常方便的。

    必须注意，作用于质点系的力既有外力，也有内力，在某些情形下，内力虽然等值反向，但所作功的和并不等于零。以图12-13所示系统中相互吸引的两质点A与B为例，说明如下：

由任意点O作连结A、B两点的矢径rA和rB，则作用于此两点上大小相等方向相反的两力FA和FB的元功各为FA·drA和FB·drB，因此元功之和为

由图12-13得知 ，考虑到FA和BA的符号，则有

图12-13

    可见，当质点系内质点间的距离发生变化时，内力功的总和一般不等于零。因此当机械系统内部包含发动机或变形元件（如弹簧等）时，内力的功应当考虑。

    3于刚体来说，由于任何两点间的距离保持不变，因此，刚体内力的功之和恒等于零。

    不可伸长的柔绳、钢索等所有内力作功的和也等于零。

    在应用质点系的动能定理时，要根据具体情况仔细分析所有的作用力，3确定它是否作功；应注意：理想约束的约束力不作功，而质点系的内力作功之和并不一定等于零。
例12-3 质量为m的物体，自高处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，如图12-11所示。设板和弹簧的质量都可忽略不计，弹簧的刚度系数为k。试求弹簧的最大压缩量。

图12-11

【解】

    以物体为研究对象，分析物体从位置Ⅰ到位置Ⅲ的整个过程，即对物体从开始下落到弹t压缩到最大值的过程应用动能定理，在这一过程的始末位置质点的动能都等于零。在这一过程中，重力作的功为 ，弹簧力作的功为 ，于是有

得

    由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答案取正号，即

    从本例的分析可见，在质点从位置I到位置III的运动过程中，重力作正功，弹簧力作负功，恰好抵消，因此质点在运动始、末两位置的动能是相同的。显然，质点在运动过程中动能是变化的，但在应用动能定理时不必考虑在始、末位置之间动能是如何变化的。

    另外，本题也可将运动过程分为两个阶段进行分析，即分别对物体从位置I到位置Ⅱ、从位置Ⅱ到位置III应用动能定理进行求解，请读者自己求解。
    例12-4 在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物，如图12-14所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比i=ω1/ω2；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止，试求当重物上升的距离为h时的速度v及加速度α。

【解】

取绞车和重物组成的质点系为研究对象。

图12-14

系统初始瞬时静止，动能为

系统在重物升高h时的动能为

    将 代入上式，得

    质点系具有理想约束且内力功之和等于零，则主动力的功为

    因 ，式中φ1和φ2分别为轮Ⅰ和轮II的转角，于是

    根据质点系动能定理可得

（1）

解得

    将式（1）两端对时间求一阶导数，并注意到 ，得

    上式两端消去v，可得重物的加速度

    例12-5 图12-15所示的行星轮系位于水平面内，由半径为R的固定大齿轮O，半径为r、质量为m1的均质小齿轮A（可视为均质圆盘）和质量为m2、长为（R+r）的曲柄OA（可视为均质杆）组成。曲柄OA在力偶矩为M的常力偶作用下由静止开始运动。求曲柄的角速度ω与转角φ之间的关系，并求其角加速度。

图12-15

【解】

    取曲柄和小齿轮为研究对象。曲柄OA作定轴转动，小齿轮作平面运动。
初始瞬时系=静止，动能为

    任意位置系统的动能

    式中ω为曲柄转过角度φ时的角速度，因小齿轮与大齿轮的接触点P为小齿轮的速度瞬心，所以小齿轮的角速度为 。则

    系统具有理想约束且内力功之和等于零，只有常力偶矩作功

    由质点系动能定理得

（1）

则

    将（1）式两端对时间求一阶导数，并注意到 ，得

    曲柄OA的角加速度为