理论力学基础-12.5势力场 势能 机械能守恒定律

第五节 势力场 势能 机械能守恒定律

一、势力场

    如果质点在某空间中的任一位置，都受到一个大小和方向完全决定于质点位置的力的作用，则这部分空间称为力场。例如，地球表面附近的空间是重 场；当质点离地面较远时，质点将受到万有引力的作用，引力的大小和方向也完全决定于质点的位置，所以这部分空间称为万有引力场；系在弹簧上的质点受到弹簧的弹性力的作用，弹性力的大小和方向也只与质点的位置有关，因而在弹性力所及的空间称为弹性力场。

    如果质点在某力场中运动时，作用在质点上的力所作的功与质点路径无关，只取决于质点的初始位置和终止位置，则该力场称为势力场，而质点所受的力称为有势力。例如：重力，万有引力及弹性力都是有势力，重力场、万有引力场及弹性力场都是势力场。

二、势能

    在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。用Ep表示，即

(12-31)

    点M0的势能等于零，我们称它为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。下面介绍几种常见的势能。

1．重力场中的势能

    在重力场中，取如图12-16所示坐标系。重力mg在各轴上的投影为

    取M0为零势能点，则点M的势能为

(12-32)

图12-16

2．弹性力场中的势能

    设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，如图12-17所示，弹簧的刚度系数为K。取点M0为零势能点，则质点M的势能

（12-33）

    式中，δ和δ0分别为弹簧在M和M0时的变形量。

    如果取弹簧的自然位置为零势能点a则有 ，于是得

(12-34)

图12-17

3．万有引力场中的势能

    设质量为m1的质点受质量为m2物体的万有引力F作用，如图12-18所示。取点M0为零势能点，则质点在点M的势能

图12-18

    式中f为引力常数，r0是质点的矢径方向的单位矢量。 为矢径增量dr在矢径方向的投影，由图12-18可见，它应等于矢径长度的增量dr，即 。设r1是零势能点的矢径，于是有

(12-35)

    如果选取的零势能点在无穷远处，即 ，于是得

    上式表明：万有引力作功只取决于质点运动的初始位置M和终止位置M0，与点的轨迹形状无关，万有引力场为势力场。

三、机械能守恒定律

    质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。设质点系在运动过程中的初始瞬时和终止瞬时的动能分别为Ek1和Ek2，所受力在这过程中所作的功为W，根据动能定理有

    若系统运动中，只有有势力作功，而有势力的功可用势能计算，即

    则

(12-36)

    上式表明：质点在势力场内运动时机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。

四、有势力在直角坐标轴上的投影与势能的关系

    在势力场中，不同位置处的势能值不同，因此，势能是位置坐标的函数。
    设有势力F的作用点从点M (x，y，z)移到点M''(x+dx，y+dy，z+dz)，M点处的势能为Ep(x，y，z)，而M''点的势能为Ep(x+dx，y+dy，z+dz)，则有势力的元功可用势能的差来计算，即

(12-37)

    由微积分知，势能的全微分可写成

    代入式(12-37)，有

    而力F的元功的解析表达式为

    比较以上两式，得

(12-38)

    上式表明：有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号。

    如果系统有多个有势力，总势能为Ep，则对于作用在点Mi(xi，yi，zi)的有势力Fi，其相应的投影为

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