理论力学基础-12.1动能的概念和计算

第十二章 动能定理

    能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。动能定理从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题。

第一节 动能的概念和计算

一、质点的动能

    动能是物体机械运动强弱的又一种度量。设质点的质量为m，在某一位置时的速度为v，则该质点的动能等于它的质量与速度平方乘积的一半，用EK表示，即：

（12-1）

    由上式可知，动能恒为正值，它是一个与速度方向无关的标量。动能的量纲为
    dim Ek=[M][L]2[T]-2

    在国际单位制中动能的单位为N·m（牛·米），即J（焦耳）。

    动能和动量都是表征物体机械运动的量，都与物体的质量和速度有关，但各有其特点和适用的范围。动量为矢量，是以机械运动形式传递运动时的度量；而动能为标量，是机械运动形式转化为其它运动形（如热、电等）的度量。

二、质点系的动能

    质点系内各质点的动能的总和，称为质点系的动能，即

（12-2）

    式中mi和vi分别表示质点系中任一质点的质量和速度的大小。

    刚体是由无数质点组成的质点系，刚体作不同的运动时，各质点的速度分布不同，故刚体的动能应按照刚体的运动形式来计算。

三、平动刚体的动能

    当刚体作平动时，在每一瞬时刚体内各质点的速度都相同，以刚体质心的速度vc为代表，于是，由式（12-2）可得平动刚体的动能

（12-3）

    上式表明：平动刚体的动能等于刚体的质量与其质心速度平方乘积的一半。

四、定轴转动刚体的动能

    设刚体在某瞬时绕固定轴z转动的角速度为ω，则与转动轴z相距为ri，质量为mi的质点的速度为vi=riω。于是，由式（12-2）可得定轴转动刚体的动能

故

（12-4）

    上式表明：定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。

五、平面运动刚体的动能

    刚体作平面运动时，任一瞬时的速度分布可看成绕其速度瞬心作瞬时转动，因此，该瞬时的动能可按式（12-4）进行计算。
    取刚体质心C所在的平面图形如图12-1所示，设图形中的点P是某瞬时的瞬心，ω是平面图形转动的角速度，于是，平面运动刚体的动能为

（12-5）

    式中，JP是刚体对速度瞬心的转动惯量。由于速度瞬心P的位置随时间而改变，应用上式进行计算有时不方便，故常采用另一种形式。

图12-1

    根据转动惯量的平行轴定理有

    式中，m是刚体的质量，d=CP，JC是刚体对于质心的转动惯量。代入式（12-5），可得

    因5vc=dω，故

（12-6）

    上式表明：平面运动刚体动能等于刚体随质心平动动能与绕质心转动动能之和。

    例12-1 在图12-2所示系统中，均质定滑动轮B（视为均质圆盘）和均质圆柱体C的质量均为m1，半径均为R，圆柱体C沿倾角为θ的斜面作纯滚动，重物A的质量为m2，不计绳的伸长与质量。在图示瞬时，重物A的速度为v。试求系统的动能。

【解】

    对系统进行运动分析 A物体作平动，速度为v；滑轮B作定轴转动，角速度 ；圆柱体C作平面运动，质心C的速度为 ，角速度 ，则由式（12-3）、式（12-4）、式（12-6）分别计算刚体A、B、C的动能

图12-2

    系统的动能为各刚体动能之和，即