理论力学基础-11.3动量矩定理

第三节 动量矩定理

一、质点动量矩定理

    设质点的质量为m，在力F作用下运动，某瞬时其速度为v，如图11-8所示，则该质点对固定点O的动量矩为

图11-8

    将上式对时间求一阶导数，有

    因为O为固定点，故有

    又根据质点的动量定理，有

    因此得

(11-12)

    将式(11-12)向过O点的固定轴投影，并将质点对固定点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系式和力对点之矩与力对轴之矩的关系式代入，得

(11-13)

    式（11-12）和式(11-13)表明：质点对任一固定点(或轴)的动量矩对时间的一阶导兀等于作用于质点上的力对同一点(或轴)之矩。这就是质点的动量矩定理。其中式（11-12）为矢量形式，而式（11-13）为投影形式。

二、质点系动量矩定理

    设质点系由n个质点组成，取其中第i个质点来考察，将作用于该质点上的力分为内力Fii和外力Fie ，根据质点的动量矩定理，有

    整个质点系共有n个这样的方程，相加后得

    由于质点系中的内力总是等值反向地成对出现，因此，上式中质点系内力对O点矩的矢量和(内力系对O点的主矩) ，交换左端求和及求导的次序，有

简写为

(11-14)

    与质点的动量矩定理相同，将式(11-14)向直角坐标轴投影，得

(11-15)

式（11-14）和式(11-15)表明：质点系对任一固定点(或轴)的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上所有外力对同一点(或轴)之矩的矢量和(或代数和)。这就是质点系的动量矩定理。

三、动量矩守恒

    由质点系的动量矩定理可知，质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。
当  时，LO=常矢量；
当  时，Lx=常量。
    即 当外力"对某一固定点(或某固定轴)的主矩(或力矩的代数和)等于零时，则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变，这就是质点系的动量矩守恒定律。

    应当注意，上述动量矩定理的形式只适用于对固定点或固定轴，在本章第五节中将介绍质点系相对于质心的动量矩定理。而质点系相对于一般动点或动轴的动量矩定理，形式将更复杂，本书不作讨论。

    例11-5 单摆(数学摆)如图11-9所示，已知摆锤重为W，线长为l，初始偏角为φ0，无初速释放。试求此单摆微小摆动时的运动规律。

图11-9

【解】

    单摆的自由度为1，单摆运动时，摆锤的运动轨迹是以O为圆心，l为半径的圆弧，取φ为广义坐标。设在x意瞬时t，摆锤的位置如图所示，其速度为v，则有 ，摆锤对O轴的动量矩为

    再对摆锤进行受力分析，它受重力W和摆线的拉力F作用，如图11-9所示，故力系对O轴的矩为

    根据质点的动量矩定理

    得

即

    这是单摆摆动时的运动微分方程，在一般情况下，该方程要用椭圆积分才能进行求解。当单摆微小摆动时，才有 ，此时，上式可改写为

    此微分方程的解为

   式中，φ0称为角振幅；θ称为初相位，由初始条件确定。将初始条件(t=0时： )代入，得

    这就是单摆微小摆动时的运动规律。

    例11-6 质量为m1、半径为R的均质圆轮绕定轴O转动，如图11-10所示。轮上缠绕细绳。绳端悬挂=量为m2的物块。试求物块的加速度。

图11-10

【解】

    以整个系统为研究对象，先进行运动分析。设在图示瞬时，物块的速度为v，加速度为a，由运动学关系，圆轮的角速度为 ω=v/R，因此系统的动量矩为

    再进行受力分析。系统所受外力如图11-10所示，其中m1g、m2g为主动力，FOx、FOy为轴O处的约束力。根据动量矩定理

有

即

    得物块的加速度

 例11-7 离心调速器的水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联接质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕z轴的角速度为ω0。如某瞬时此细线拉断后，杆AC与BD各与铅.线成θ角，如图11-11所示。不计各杆重量，试求此时系统的角速度。

图11-11

【解】

    系统所受的外力有小球的重力及轴承的约束力，这些力对z轴之矩都等于零,即。所以系统对z轴的动量矩守恒，即Lz＝常量。
    开始时系统的动量矩为

    细线拉断后的动量矩为

由

有

    由此求出细线拉断后的角速度

显然