理论力学基础-11.6刚体平面运动微分方程

第六节 刚体平面运动微分方程

    设刚体在力F1，F2，…，Fn作用下作平面运动，如图11-17所示，作一随质心平动的动坐标系Cx''y''，由运动学可知，刚体的平面运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动。刚体相对于质p的动量矩为

    应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得

(11-23)

    将第一式向 x，y 轴投影，得

(11-24)

    以上两式称为刚体平面运动微分方程。用它可求解平面运动刚体动力学的两类问题，实际应用时一般取式(11-24)的形式。

图11-17

例11-11 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动，如图11-18所示。设轮的回转半径为ρC，作用于圆轮上的力偶矩为M，圆轮与地面间的静摩擦因数为μ。试求：（1）轮心的加速度；（2）地面对圆轮的约束力；（3）使圆轮只滚不滑的力偶矩M的大小。

图11-18

【解】

    圆轮的受力如图11-18所示。根据圆轮的平面运动微分方程，有

    式中，M与a均为顺时针转向，故按正负号规定，在前面加负号。因 ，所以，在纯滚动（即只滚不滑）的条件下，有

    以上方程联立求解，得

    欲使圆轮只滚动而不滑动，必须满足F≤μFN，即

    于是得圆轮只滚不滑的条件为

    对于均质圆盘 ，故 。
    从本题可见，应用刚体平面运动微分方程求b动力学的两类问题时，除了要列出微分方程外，还需写出补充的运动学方程或其他所需的方程，在本题中补充方程为 。

例11-12 均质细杆AB长l，重W，两端分别沿铅垂墙和水b面滑动，不计摩擦，如图11-19所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下。求杆在任意位置的角加速度。

图11-19

【解】

    杆在任意位置的受力如图11-19所示。为分析杆质心的运动，建立直角坐标系Oxy，如图所示，则质心的坐标为

    将上式分别对时间求一阶及二阶导数，有

    列出杆的平面运动微分方程

(1)

(2)
(3)

    求解微分方程，将式(1)乘以，式(2)乘以 ，然后两式相减得

(4)

    式(4)与式(3)联立求解，可得任意瞬时的角加速度为

    本题中，如要求杆在任意位置时的约束力，则可将上式分离变量后积分求出杆在任意瞬时的角速度，再代入式(1)、式(2)，即可求得约束力FA、FB，请读者自行计算。