理论力学基础-11.4刚体定轴转动微分方程

第四节刚体定轴转动微分方程

    一设一刚体在主动力F1，F2，…，Fn和轴承的约束力FN1，FN2作用下，以角速度ω和角加速度α绕z轴转动，如图11-12所示，由于轴承约束力均通过z轴，如不计轴承的摩擦，则它亩詚轴的力矩都等于零，根据式(11-7)知，刚体对z轴的动量矩为

图11-12

代入质点系对z轴的动量矩定理

得

(11-16)

或

(11-17)

(11-18)

    以上三式均称为刚体定轴转动微分方程，它表明：刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。

    从刚体定轴转动微分方程可以看出，对于不同的刚体，若主动力对转轴之矩相同时，转动惯量大的刚体，角加速度α小，即转动状态变化小；反之，转动惯量小的刚体，角加速度α大，即转动状态变化大。这说明，转动惯量是刚体转动时惯性的度量。

    将刚体定轴转动微分方程与质点运动微分方程 加以比较，可见它们的形式相同，因此，用式(11-16)～式(11-18)也可求解刚体定轴转动的两类动力学问题，但它不能用来求解支座处的约束反力。

    例11-8 复摆（物理摆）如图11-13所示，摆的质量为m，质心为C，摆对悬挂点（或悬点）的转动惯量为JO。试求复摆微幅摆动的周期T。

【解】

    取φ为广义坐标，逆时针方向为正。复摆在任意位置φ处的受力如图11-13所示，由刚体定轴转动微分方程，得

图11-13

    当复摆微幅摆动时，有 ，此时，上式可改写为

    此微分方程的解为

    这就是复摆微小摆动时的运动规律。其中，φ0为角振幅；θ为初相位。由上式可得到复摆微小摆动时的周期为

    工程中，对于几何形状复杂的物体，常用实验方法测定其转动惯量。其中，复摆法是一种较为简单的常用方法，即先测出零部件的摆动周期后，应用上式计算出它的转动惯量。

例如/欲求刚体对质心C的转动惯量，则由上式，得

    由平行轴定理知

于是得

    对于轮状零件，还可以通过其它手段测定其转动惯量，例如本章习题11-12等。

    例11-9 齿轮传动系统如图11-14a所示，啮合处两齿轮的半径分别为R1=0.4m和R2=0.2m，对轴I、II的转动惯量分别为 和 ，轴I上作用有主动力矩，轴II上有阻力矩 ，转向如图所示。设各处的摩擦忽略不计，试求轴I的角加速度及两轮间的切向压力 。

图11-14

【解】

    分别取轴Ⅰ和轴Ⅱ为研究对象，其受力情况如图11-14b、11-14c所示。分别建立两轴的转动微分方程

    其中 ， ，代入以上两式，联立求解，得

    将各已知量代入，得

    例11-10 均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰链支承，A端用细绳悬挂，如图11-15所示，试求将细绳突然剪断瞬时，铰链O的约束反力。

图11-15

【解】

    将细绳突然剪断，杆受重力W与铰链O的约束反力FOx、FOy作用。其受力如图11-15所<。杆作定轴转动，在该瞬时，角速度ω=0，但角加速度α≠0。因此，必须先求出α，再求O处的反力。
应用刚体定轴转动微分方程 ，有

即

    得杆在细绳突然剪断瞬时的角加速度

    再应用质心运动定理求O处的反力，在此瞬时，因 ，故 ，由 ，得

由此解得

    这类问题称为突然解除约束问题，简称为突解约束问题。该类问题的力学特征是：在解除约束后，系统自由度会增加；解除约束前后的瞬时，其一阶运动量（速度、角速度）连续，但二阶运动量（加速度、角加速度）会发生突变。因此，突解约束问题属于动力学问题，而不是静力学问题。

    在本题中，在剪断绳子前，杆在重力、铰链O处的反力和绳子的沉ψ饔孟卤３制胶狻Ｔ诩舳仙子后，自由度变为1，此时杆可绕O轴转动；在剪断绳子前后的瞬时，角速度ω均为零，但角加速度α发生突变。因此，本题中O处的反力FOy既不等于mg/2，也不等于mg。FOy是动约束力，必须用动力学定理来求解。