理论力学基础-11.5质点系相对于质心的动量矩定理

第五节 质点系相对于质心的动量矩定理

一、质点系相对于质心的动量矩

    如图11-16所示，O为固定点，C为质点系质心，建立固定坐标系Oxyz及随质心平动的坐标系Cx''y''z''，质心C相对于固定点O的矢径为rC ，质点系中第i个质点的质量为mi，相对于质心C的矢径为rir ，相对于固定坐标系Oxyz的速度为vi，相对于动系 的速度为vir ，则质点系相对于质心的动量矩定义如下：

    定义 质点系中各质点在定系Oxyz中运动的动量质心C之矩的矢量和(绝对运动动量对C点的主矩)称为质点系相对于质心的动量矩，即

(11-19)

图11-16

    一般说来，用绝对速度计算质点系相对于质心的动量矩并不方便，通常用相对于动系Cx''y''z''的相对速度进行计算。由于动系随质心作平动，故任一点的牵连速度均等于质心C的速度vC，则根据速度合成定理，有

故

    由质心的定义，有  ，其中rCr为质心相对于动系原点的矢径，而此时质心C恰为动系Cx''y''z''的原点，故有rCr=0，因此，上7可写成

(11-20)

    其中，LCr是在随质心作平动的动系中，质点系相对运动对质心的动量矩(相对运动动量对C点的主矩)。

    结论 质点系相对于质心的动量矩LC既可用各质点的绝对速度来计算，也可用各质点在随质心平动的动坐标系中的相对速度来计算，其结果是一样的。

    根据定义式(11-19)，容易得到质点系相对于固定点的动量矩与相对于质心的动量矩之间的关系。
    如图11-16所示，质点系对于固定点O的矩为

    而

于是

    式中， 为质点系动量；而 为质点系相对质心C的

动量矩。

于是得

（11-21）

    上式表明：质点系对任意一固定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩LC，与集中于质心的质点系动量对于O点动量矩的矢量和。

二、质点系相对于质心的动量矩定理

    质点系对固定点O的动量矩定理为

    将式（11-21）和 代入，有

即

    根据质心运动定理 ，上式可改写为

    而 为质点系外力对质心之矩的矢量和，即外力系对质心C的主矩。
    于是，得

（11-22）

    上式表明：质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上的所有外力对质心之矩的矢量和外力系对质心的主 ）。这就是质点系相对于质心的动量矩定理。

     由式(11-22)可知，质点系于相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。当外力系对质心的主矩为零时，质点系相对于质心的动量矩守恒。即
     当 时，LC＝常矢量
    例如，跳水运动员跳水时，当他离开跳板直到入水前，如不计空气阻力，则只受重力作用，而重力过质心，对质心的力矩为零，因此质点系对质心的动量矩守恒。如果要翻跟头，就必须在起跳前用力蹬跳板，以便获得初速度，使身体绕质心轴转动；他将身体和四肢伸展或蜷缩，是为了改变对质心轴的转动惯量，从而改变转动角速度。

    刚体的一般运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的转动，刚体随质心的平动可用质心运动定理分析，而相对于质心的转动则可用质点系相对于质心的动量矩定理来分析。这两个定理完全确定了刚体一般运动的动力学方程。下面将这两个定理应用于工程中常见的刚体平面运动，从而建立刚体平面运动微分方程。