理论力学基础-11.2转动惯量
第二节转动惯量
一、转动惯量的概念
由上节可知，刚体对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和，即
(l1-8)
可见，转动惯量恒为正标量，其大小不仅与刚体质量大小和质量的分布情况有关，还与z轴的位置有关。转动惯量是刚体定轴转动时惯性的度量，这一点将在本章第四节中说明。
当质量连续分布时，刚体对z轴的转动惯量可写为
(l1-9)
转动惯量的量纲为
dim J＝ML2
在b际单位制中，转动惯量的单位为kg·m2
二、回转半径
工程上常把刚体的转动惯量表示为
或 
(l1-10)
式中，ρz称为刚体对z轴的回转半径(或惯性半径)，即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。
式(11-10)说明，如果把刚体的质量全部集中于与转轴垂直距离为ρz的一点处，则这一集中质量对于z轴的转动惯量，就正好等于原刚体的转动惯量。
几何形状相同的均质刚体的回转半径是相同的。在国际单位制中，回转半径的单位为m。
三、平行轴定理
下面研究刚体对于两平行轴的转动惯量之间的关系。
设刚体的质量为m，质心在C点，z1轴是通过刚体质心的轴(简称质心轴)，z轴平行于z1轴，两轴间距离为d，如图11-3所示。
图11-3
分别以 C点、O点为原点，作直角坐标系 Cx1y1z1和Oxyz，根据转动惯量的定义，可知，刚体对质心轴的转动惯量Jzc和对z轴的转动惯量Jz分别为
因为
所以
由质心坐标公式
得
故
为质心在直角坐标系Cx1y1z1中的坐标，由于坐标原点取在质心C， 
,于是得
(l1-11)
上式表明：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于平行于该轴的质心轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方之乘积。这就是转动惯量的平行轴定理。
由此可见，在相互平行的各轴中，刚体对质心轴的转动惯量为最小。
四、转动惯量的计算
刚体转动惯量的计算是以式(11-8)和式(11-9)为依据的。对于几何形状简单的均质刚体，一般可用积分法计算，或查阅有关工程手册；对于由几个简单形体组合而成的复合形体，可用组合法进行计算，即先求出其中各简单形体对指定轴的转动惯量，然后相加即得复合形体对该轴的转动惯量；在已知刚体对质心轴的转动惯量时，可应用平行轴定理，来计算刚体对平行于质心轴的某轴的转动惯量；对于不便计算的形状复杂的刚体或非均质刚体，其转动惯量可用本章第四节中介绍的实验法测。
例11-1 长为l，质量为m的均质细长杆，如图11-4所示。试求：(1)杆件对于过质心C且与杆的轴线相垂直的z轴的转动惯量；(2) 杆件对于过杆端A且与z轴平行的z1轴的转动惯量；(3) 杆件对于z轴和z1轴的回转半径。
图11-4
【解】
设杆的线密度(单位长度的质量)为ρl，则ρl=m/l。现取杆上一微段dx，如图11-4a所示，其质量为 
，则由式(11-9)知，杆件对于z轴的转动惯量为
同样，如图11-4b所示，则杆件对于z1轴的转动惯量为
也可应用平行轴定理进行计算，有
结果与积分法相同。求出转动惯量后，可得杆件对两轴的回转半径分别为
例11-2 半径为R，质量为m的均质薄圆盘，如图11-5所示，试求圆盘对于过中心O且与圆盘平面相垂直的z轴的转动惯量。
图11-5
【解】
设圆盘的面密度(单位面积的质量)为ρA，则 
，现取圆盘上一半径为r，宽度为dr的圆环分析，如图11-5所示。该圆环的质量为 
，由于圆环上各点到z轴的距离均为r，于是此圆环对于z轴的转动惯量为 
，因此整个圆盘对于z轴的转动惯量为
相应的回转半径为 
例11-3 如图11-6所示的钟摆，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长为l，圆盘直径为d，图示位置时摆的角速度为ω。试求摆对于通过O点的水平轴的动量矩。
图11-6
【解】
本题先用组合法计算摆对于水平轴O的转动惯量，即
其中
而圆盘对于轴O的转动惯量 
可用平行轴定理计算
得
于是摆对于水平轴O的动量矩为
如果物体有空心的部分，则可把空心部分的质量作为负值处理，仍可用组合法进行计算。
例11-4 径为R，质量为m的均质圆盘，在离圆心R/3处挖去一半径为r=R/3的圆，如图11-7所示，试求其对于A轴的转动3量。
图11-7
【解】
把该物体看成由半径分别为R、r的两个均质圆盘组成，设这两个圆盘的质量分别3m1、m2，它们对轴A的转动惯量JA1、JA2，则物体对轴A的转动惯量
由于
得
因r=R/3，故m2=m/9。6m1=m,m2=m/9代入上式，得
