理论力学基础-9.2质点运动微分方程

第二节 质点运动微分方程

    本节由动力学基本方程建立质点的运动微分方程，解决质点动力学的两类基本问题。

    设质量为m的自由质点M在变力F作用下运动，如图9-1所示。根据动力学基本方程 

因 
得 （9-3）

    就是矢量形式的质点运动微分方程。

图9-1

    将上式投影在直角坐标轴上，则得
（9-4）
    这就是直角坐标形式的质点运动微分方程。
    在实际应用中，采用自然坐标系有时更为方便。如图9-2所示，过M点作运动轨迹的切线、法线和副法线。将式（9-3）投影在自然轴上，则得
（9-5）

    这就是自然坐标形式的质点运动微分方程。

图9-2

    用投影形式的质点运动微分方程解决质点动力学问题是个基本的方法。在解决实际问题时，要注意根据问题的条件作受力分析和运动分析。对第一类基本问题--已知运动求力，计算比较简单，只要确定质点的加速度，代入式（9-4）或（9-5）中，即可解得需求力。对第二类问题--已知力求运动，这种问题的求解归结为联立微分方程组的积分，积分常数根据已知条件（如运动的初始条件，即t=0时质点的坐标值和速度值）确定，当力的变化规律复杂时，求解比较困难。计算时要根据力的表达形式（力为常数，还是时间或坐标的函数）及需求量的不同来分离变量。

    例9-1 设质量为m的质点M在oxy平面内运动，如图9-3所示，其运动方程为： ， 。式中a、b及k都是常数，试求作用于质点上的力F。

图9-3

【解】

    由运动方程消去时间t，得

    显然这是椭圆方程。
    将运动方程取两次微分，得

    将上式各乘以该质点的质量m，则得到作用于质点上的力F的投影为

    因此力F的大小及方向余弦为

    式中 是椭圆中心O引向质点M的矢径OM的大小，而矢径OM的方向余弦为

    可见力F与矢径r成比例，而方向相反，即力F的方向恒指向椭圆中心O，可表示为

    这种力称为有心力。

    例9-2 如图9-4所示，桥式起重机上跑车悬吊一重为W的重物，沿水平横梁作匀速运动，其速度为v0 ，重物的重心至悬挂点的距离为l；由于突然刹车，重物的重心因3性绕悬挂点O向前摆动，试求钢绳的最大拉力。

图9-4

【解】

    将重物3为质点，作用于其上的力有重力W和绳的拉力FT。刹车前，重物以速度v0作匀速直线运动。即处于平衡状态，这时重力W与绳拉力FT0的大小相等。
    刹车后，重物沿以悬挂点O为圆心、l为半径的圆弧向前摆动，考虑绳与铅垂线成φ角的任意位置时，由于运动轨迹已知，故应用式（9-5），取自然轴如图9-5，列运动微分方程

（1）

（2）

    由式（2）得

    其中v及cosφ均为变量。由式（1）知重物作减速运动，故可判断出在初始位置φ=0时i的拉力最大，其值为

    可见在一般情况下，钢绳拉力由两部分组成，一部分是重物的重量引起的静拉力FT0=W，另一部分是由于加速度而引起的附加动拉力。系数( )称为动荷系数，以Kd表示，即

    它表示物体加速运动时动拉力与静拉力之比值。如果加速度越大，则动荷系数及动拉力就越大，设计钢绳时应考虑动荷影响。为了避免绳中产生过大的附加动拉力，跑车的行车速度不能太大，应力求平稳；在不影响吊装工作安全的条件下，绳应尽量长些，以减少动荷系数。

    例9-3 从某处抛射一物体，已知初速度为V0，抛射角即初速度对水平线的仰角为α；如不计空气阻力，试求物体在重力W单独作用下的运动规律。

【解】

    将抛射体视为质点，以初始位置为坐标原点O，x轴沿水平方向，y轴沿&垂方向，并使初速度V0在坐标平面Oxy内，如图9-5所示。

图9-5

    这样，确定运&的初始条件为t=0时

    在任意位置进行受力分析，物体仅受重力W作用。应用式（9-4）得

    积分后得

    再积分后得

    式中C1,C2,C3,C4为积分常数，由运动的初始条件确定，得

    于是物体的运动方程为

    由以上两式消去时间t，即得抛射体的轨迹方程为

由此可知，物体的轨迹是抛物线。

    例9-4 垂直于地面向上发射一物体，试求该物体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。

【解】

    选地心O为坐标原点，x轴铅垂向上，如图9-6所示。将物体视为质点，根据牛顿万有引力定律，它在任意位置x处受到地球的引力F，方向指向地心O，大小为

图9-6

   其中f为万有引力常数，m为物体的质量，M为地球的质量，x为物体至地心的距离。由于物体在地球表面时所受的引力即为重力，故有

    所以有

    因此物体的运动微分方程为

    改写成

    分离变量得

    如设物体在地面开始发射的速度为vo ，在空中任意位置x处的速度为v，对上式进行积分得

得

    所以物体在任意位置的速度为

    可见"体的速度将随x的增加而减小。
    若 ，则物体在某一位置x=R+H时速度将减小为零，此后物体将往回落下，H为以初速vo向上发射所能达到的最大高度。将x=R+H及v=0代入上式，可得

    若 ，则不论x为多大+甚至为无限大时，速度v都不会减小为零。因此欲使物体向上发射而一去不复返时必须具有的最小初速度为

    如以g=9.8m/s2、R=6370km代入，则得

    这就是物体脱离地球引力范围所需的最小初速度,称为第二宇宙速度。

    例9-5 质量为m的矿石在静止介质（液体气体）中由A处自由沉降，如图9-7所示。已知与矿石同体积的介质的质量为m1，介质对匀速下沉的矿石的运动阻力为  ，v为矿石的沉降速度，系数μ与矿石形状、横截面尺寸及质的密度有关。试求矿石的沉降速度及运动规律。

图9-7

【解】

    将矿石视为质点，取矿石初始位置A为坐标原点，x轴铅垂向下，如图9-7所示。在介质中沉降的矿石受有重力W、介质浮力F及运动阻力FC。矿石运动的初始条件为

    于是矿石的运动微分方程为

或

(1)

式中

    在积分之前先就上式讨论两个问题：
1)在t=0运动刚开始时，由于vox=0，阻力FC=0，加速度

    可见若矿石在真空中沉降，则α=1,ax=g；在空气中α≈1,ax≈g，但在液体中，ax＜g。
2)开始沉降后，随着速度vx逐渐增大，阻力FC将很快地增加，而加速度ax则很快地减i。当速度达到某一数值时，加速度为零，这时的速度称为极限速度，以c表示，以后矿石将保持匀速c沉降。由前式得

得

将式(1)改写为

分离变量后积分

得

解得

（2）

   再分离变量后积分得

    应用原来符号，则矿石的沉降速度及运动规律分别为

    由式（2）可知，沉降速度随时间的增加而增大，从理论上讲。当t→∞时， 趋于极限值c，实际上当nct=4时，vx=0.9993c，这已非常接近于c。由于矿石的直径不同，密度不同，在介质中沉降w有不同的速度，在选矿工业中，利用这一原理可将不同的矿石分离开来。此外，研究炸弹、降落伞的沉降及泥沙沉淀等问题都是根据这种原理进行的。