理论力学基础-10.2动量定理

第二节 动量定理

一、质点的动量定理

    一质点的质量为m，受到力F的作用加速度为a，由牛顿第二定律可得

改写为

式中 为质点的动量，因此得

(10-6)

    上式表明：质点动量对时间的导数等于作用在该质点上的力。这就是质点动量定理的微分形式。将式（10-6）改写为

    对上式积分，积分上下限取时间由t1到t2，速度由v1到v2得

(10-7)

    式(10-7)为质点动量定理的积分形式，即在某一时间段内,质点动量的变化等于作用于质点上的力在同一时间段内的冲量。

二、质点系的动量定理

    考察一由n个质点组成的质点系，对其中第i质点应用动量定理式(10-6)，可得

式中

    Fje --该质点所受的质点系外力；
    Fji --该质点所受的质点系内力。
    这样的方程共有n个，将这n个方程两端分别相加，可得

    交换求导和求和的顺序，上式可改写为

(10-8)

    因为质点系内各质点间的相互作用的内力总是大小相等方向相反，成对出现，因此内力的矢量和必为零，即 ，所以式（10-8）可写成

(10-9)

    上式表明：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力的矢量和，这就是质点系动量定理的微分形式。式（10-9）也可写成

(10-10)

    若在t=t1时质点系的动量为p1；在t=t2时的动量为p2，则对式（10-10）两边积分可得

(10-11)

    此即质点系动量定理的积分形式，即在某一时间段内质点系动量的改变量等于在此段时间内作用于质点系上外力冲量的矢量和。
    由质点系动量定理可知，只有外力才能改变质点系的动量，而内力则不能。但内力却能改变个别质点的动量，要改变整个质点系的动量只有依靠外力。
    质点系动量定理是矢量方程，具体应用时通常取投影形式，如式（10-9）和式(10-11)在直角坐标轴上&投影式为

(10-12)

(10-13)

三、动量守恒

    如作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，即 ，则由式(10-9)或式(10-10)可知，在运动过程中质点系的动量保持不变，即

p = p1= p2 =常矢量

    如作用于质点系的外力的矢量和在某一轴上的投影恒等于零，如，则根据式 (10-12)或式(10-13)可知，在运动过程中质点系的动量在该轴上的投影保持不变，即

px = px1 =px2 = 常量

    以上结论称为质点系动量守恒定律。可见，要使质点系动量发生变化，必须有外力作用。 
    质点系动量守恒定律是自然界的普遍客观规律之一，在工程技术上应用很广。如枪炮的"后座"，火箭和喷气飞机的反推作用等都可以用动量守恒定律加以研究。

    例10-２如图10-3a所示，质量为m1的矩形板可在垂直于板面的光滑平面上运动，板上有一半径为Rㄔ残伟疾郏一质量为m2的甲虫以相对速度vr沿凹槽匀速运动。初始时板静止，甲虫位于圆形凹槽的最右端（即θ=0o）。试求甲虫运动到图示位置时，板的速度和加速度及地面作用在板上的约束力。

图10-3

【解】

    以板和甲虫组成的质点系为研究对象，这样板与甲虫间的相互作用力为内力可不考虑。作出质点系运动到一般位置的受力图，如图10-3b所示w
(1) 求板的速度和加速度 板作平动，设其速度为v1，方向如图10-3b，则板的动量为m1v1，取板为动系，甲虫为动点，设甲虫相对地面的速度为v2，则甲虫的动量为 ，系统的动量为

(1)

由于水平方向无外力作用，故系统水平方向的动量守恒，即

(2)

根据初始条件，当t=0时v10=0，v20垂直于x轴，所以px0=0。在任一时刻

    将px0和px代入(2)式后整理可得

    将上式对时间求导，可得板的加速度

    设甲虫沿圆形凹槽爬行的弧长为  ，则  。该式对时间求导可得 。将其代入上式，便可求得

(2)求地面作用在板上的约束力 系统受力如图10-3b所示，其中FN即为需求的约束力。将式(1)在y轴上投影得

(3)

    由动量定理式（10-12）可知

(4)

    将式（3）代入式（4）计算可得