理论力学基础-10.3质心运动定理

第三节 质心运动定理

一、质心运动定理

    由式(10-3)，将质点系的动量表达式代入质点系的动量定理i式(10-9)，可得

    引入质心的加速度 ，则上式可写成

(10-14)

    上式表明：质点系的质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系上所有外力的矢量和。这就是质心运动定理。把式（10-14）和牛顿第二定律的表达式

    相比，可以看出它们在形式上相似。因此质心运动定理也可叙述为：质点系质心的运动，可看成是一个质点的运动，此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。
例如在爆破山石时，土石块向各处飞落，如图10-4所示。将土石块看成一质点系，不计空气阻力，质点系仅受重力作用，在质心C上集中了质点系的全部质量，并作用了质点系的全部重力，则质心C的运动就象一个质点在重力作用下作抛射运动一样根据它的轨迹，就可以推断出大部分土石块将落在何处。

图10-4

    式(10-14)是质心运动定理的矢量形式，具体计算时可将其投影到直角坐标轴上

(10-15)

或投影到自然轴上

(10-16)

二、质心运动守恒

    由质心运动定理可知，内力不能影响质心的运动。如果作用于质点系的外力的矢量和恒等于零则质心做匀速直线运动；若质心原来是静止的，则其位置保持不动。如果作用于质点系的外力在某一轴上的投影的代数和恒等于零，则质心在该轴上的速度投影保持不变；若质心的速度投影原来就等于零，则质心沿该轴就没有位移罢饬礁鐾坡鄢莆质心运动守恒定律。 

    例如，汽车开动时，发动机中的气体压力对汽车整体来说是内力，仅靠它是不能使汽车的质心运动的。汽车所以能行驶，是因为主动轮与地面接触处受到一个向前的外力（摩擦力）的作用，这个外力使汽车的质心向前运动。在日常生活中，我们知道，在非常光滑的地面上走路很困难；在静止的小船上，人向前走，船往后退，等等，都是因为水平方向外力很小，人的质心或人与船的质心趋向于保持静止的缘故。

    例10-３电动机的外壳用螺栓固定在水平基础模外壳与定子的总质量为m1。质心位于转轴的中心O1，转子质量为m2，如图10-5 所示。由于制造和安装时的误差，转子的质心O2到O1的距离为e。若转子匀速转动，角速度为ω。求基础的支座反力。

图10-5

【解】

    取电动机外壳，定子与转子组成的质点系为为研究对象。这样就可不考虑使转子转动的电磁内力偶和转子轴与定子轴承间的内约束力。外力有重力m1g, m2g及基础的反力Fx ,Fy和反力偶MO。取坐标轴如图10-5所示，质心坐标为

    由质心运动定理式（10-15）得

    将质心坐标对时间求二阶导数，代入上式整理后可得基础的支座反力为

    .机不转时，基础上只有向上的反力，可称为静反力；电机转动时基础的反力可称为动反力。动反力与转速ω2成正比，当转子的转速很高时，其数值可达到静反力的几倍，甚至几十倍。而且，这种约束力时周期性变化的，必然引起电机和基础的振动。
    基础动反力的最大和最小值分别为：

    例10-4如图10-6所示，在例10-3中若电动机没有用螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀∷俣ω转动时电动机外壳的运动。

图10-6

【解】

    电动机受到的作用力有外壳，定子，转子的重『偷孛娴姆ㄏ蚍戳Γ而在水平方向不受力，且初始静止，因此系统质心的坐标xC保持不变。
    取坐标轴如图所示。转子在静止时，设 。当转子转过角度 时，定子应向左移动，设移动距离为s，则质心坐标为

    因为在水平方向质心守恒，所以有 ，解得

    由此可见，当转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。