理论力学基础-7.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理

第四节 牵连运动为转动时点的加速度合成定理

    动系转动时，动点加速度合成定理和平动时不同。先看一个简单的实例。
    一圆盘以匀角速度ω绕轴O作定轴转动，动点M在圆盘上半径为r的圆槽内以匀速vr 相对于圆盘运动，如图7-16所示。试求M点的加速度。

图7-16

    取M为动点，圆盘为动系。动点的相对轨迹为圆，牵连运动为定轴转动。任一瞬时，牵连速度ve=rω，方向与vr相同。于是，点M的绝对速度的大小 ，为一常数。由此可见，点M的绝对运动是匀速圆周运动，绝对轨迹是半径为r的圆。因此，点的绝对加速度aa的小为

    aa的方向指向圆心O。上式的第一项rω2和第三项vr2/r分别是点M的牵连加速度ae和相对加速度ar的大小，ae和ar的方向也指向圆心O。可见点M的绝对加速度aa的中，除了包含ae和ar外，还附加了一项 。这是动系作转动时，牵连运动和相对运动互相影响所产生的加速度项。
下面就一般情况推导动系作定轴转动时点的加速度合成定理。
    设动点相对于动系O''x''y''z''运动，相对轨迹为曲线C，动系O''x''y''z'' 以角速度ω0 绕定轴转动，角速度矢为ωe，角加速度矢为αe。不失一般性，把定轴取为静系的z轴，如图7-17所示。设动点M对静系原点O的木段猺，动系上和动点相重合的点的矢径也是r，动点相对于动系原点O''的矢径为r''，动系原点O''对静系原点O的矢径为rO''。由于牵连运动为转动，根据式（6-18）和式（6-19），牵连点的速度、加速度可分别表为

图7-17

(7-9)
(7-10)

   由速度合成定理 
    对时间求一阶导数，得 
    等式的左边项为绝对加速度aa。下面分别研究等式的右边两项。
    先看第一项。由式（7-9）对时间求一阶导数

因 
    代入上式，得 
    由式(7-10)知，等式右边前两项之和即为牵连加速度ae，因此

(7-11)

    式（7-11）的第二项是由于相对运动引起牵连速度大小 变而有的。假如没有相对运动，即vr =0，则这一项为零。
    再考虑 项。将式（7-2）中vr对时间求一阶导数

    由式（7-2）知上式中前三项之和即为相对加速度ar，因此

(7-12)

    上式后三项涉及动系上单位矢量的导数，现予以分析如下。
    设动坐标系O''x''y''z''以角速度ωe绕定轴z转动，角速度矢为ωe，从固定点O作到O''点和到k''端点A的矢径rO''和rA 。如图7-18所示。由图可见

图7-18
(7-13)

于是 
因为O''、A均为绕定轴转动刚体上的点，根据式（7-9）有 
代入上式，有 
将式(7-13)代入，得 
i''、j''的导数与上式相似，合写为

(7-14)

式(7-14)称为泊桑公式。
将泊桑公式代入式(7-12)，得

即  (7-15)

式（7-15）中的后一项是由于牵连运动为转动引起相对速度方向改变而产生的。假如牵连运动是平动，i''、j''、k''是常矢量，它们对时间的导数均为零，这一项也就不存在了。
将式（7-11）和式（7-15）代入绝对加速度表达式，得 
令

(7-16)

aC称为科氏加速度，它等于动系角速度矢与动点的相对速度矢的矢积的两倍。于是有

(7-17)

    上式表明：当牵连运动为转3时，在任一瞬时，动点的绝对加速度等于动点的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
可以证明，当牵连运动为任意运动时式（7-17）都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式。
    根据矢量积的运算法则，aC的大小为 
其中，θ为ωe与vr两矢量的最小夹角。aC的方向垂直于ωe与vr组成的平面，由右手法则确定，如图7-19a所示。

图7-19

    在一些较复杂的问题中，可以将求矢积aC的运算式写成行列式的形式，即

    在下列情况下，aC=0：
1)ωe=0时。此时动系作平动，式(7-17)退化为式(7-8)。
2)vr=0时。即某瞬时的相对速度为零。
3)ωe∥vr时，此时，θ=0或θ=180o，故sinθ=0。
在分析平面机构的运动问题时，因ωe⊥vr，在这种情况下，只需将vr按照ωe的转向转90°，就得aC的方向，如图7-19b和7-19c所示。

    例7-8 曲杆OAB绕轴O转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OC滑动，如=7-20a所示。已知曲杆的角速度ω=0.5rad/s，OA=100mm,且OA和AB垂直。求当φ=60o时小环M的速度和加速度。

【解】

    取小环M为动点，曲杆OAB为动系。
    动点的绝对轨迹为水平直线，相对轨迹为沿AB的直线，牵=运动为绕轴O的定轴转动。
    作速度平行四边形。先作ve垂直于点M到转轴O的连线，指向向下，再作va 、vr 沿其轨迹，va在速度平行四边形的对角线方向，如图7-20a所示。

由几何关系得

作动点的2速度图。作ae指向点O，将vr顺着ω的方向，即顺时针方向转90°便为aC的正确指向，作aa 、ar分别沿其轨迹方向，假设其指向如图7-20b 所示。

据加速度合成定理 
式中 
aa和ar的大小未知，取ξ轴垂直于ar，将加速度合成式向ξ轴投影，得

图7-20a

图7-20b

例7-9 试求【例7-3】中D点的加速度。

【解】

   动点和动系的选择同例7-3。
    作动点的加速度图。绝对加速度aa=0，aen指向点O，将vr（见图7-10）按ω的方向转过90°即得aC的正确指向。aeτ垂直于OA连线，ar沿相对轨迹，它们的指向假设如图7-21所示。由牵连运动为转动时的加速度合成定理

式中 
    注意到aa=0，将加速度合成式向垂直于ar的ζ轴投影，得

    负号说明杆OA的角加速度的方向与图7-21所设方向相反，即为顺时针。
点D的加速度为

[参考图]

图7-21

图7-10

=7-10 在图7-22a所示机构中，已知偏心轮半径为R，偏心距O1O=r，偏心轮绕轴O1转动的角速度ω为常数。试求杆O2E的角速度和角加速度。

【解】

[参考图]

图7-22a

图7-22b

(1)先分析凸轮推杆系统。取轮心O为动点，推杆AB为动系。

动点的绝对轨迹为圆心1O1、半径为r的圆，相对轨迹为过O点的铅垂直线，牵连运动为平动。

作速度平行四边形。先作绝对速度va1垂直于O1O，指向右下，vr1沿相对轨迹，ve1沿水平方向，由va1在速度平行四边形的对角线方向确定ve1、vr1的正确指向如图7-22a所示。

由几何关系得 
因为动系作平动，其上各点的速度、加速度相同，故推杆的速度

    作加速度图。绝对加速度aa1指向点O1，因为动系作平动，且加速度合成时只涉及到三个加速度矢量，故ae1、ar1的指向可正确画出，如图7-22 b所示。由动系p平动的加速度合成定理，有

式中 
由几何关系得

(2)再分析推杆滑块摇杆系统。取D为动点，杆O2E为动系。
动点的绝对轨迹为水平直线，相对轨迹为沿O2E的直线，牵连运动为绕轴O2的定轴转动。
作速度平行四边形。动点的绝对速度va和推杆的速度vAB相同。相对速度vr沿相对轨迹，牵连速度ve垂直于O2D的连线，指向如图7-22a所示。

由几何关系得

作动点的加速度图。aa2=aAB ,ae2n 指向点O2 ，将vr顺着 的转向转90°为aC的方向。作ar2沿相对轨迹，ae2τ垂直于O2D连线，它们的指向假设如图7-22b所示。由动系作转动的加速度合成定理，有

取投影轴ζ垂直于ar2，将加速度合成式向ζ轴投影

得 

例7-11 北半球纬度为φ处有一河流，河水沿着与正东成ψ角的方向流动，流速为vr ，如图7-23a所示。考虑地球自转的影响，试求河水的科氏加速度。

【解】

图7-23

    因为要考虑地球自转的缦欤可取地心系为静系，以地轴为z轴，x、y轴由地心O分别指向两颗遥远的恒星。以水流所在处O''为原点，将动系O''x''y''z''固结于地球上, 轴x''、y''在水平面内，轴x''指向东，轴y''指向北，轴z''指向天。地球绕z轴自转的角速度以ω表示。为了便于求aC，过点O''画出地球自转的角速度矢ω，如图7-23b所示。

科氏加速度为 
由图可见 
式中，i''、j''和k''为沿x''、y''和z'' 轴的单位矢量。于是

(1)

由此得

(2)

    由式(2)可知，当ψ=0°或180°，即水流向东或向西流动时，aC具有极大值 ，当ψ=90°或270°，即水流向北或向南流动时，aC具有极小值 。

    下面求aC在水平面O''x''y''上的投影aC''， 这只需取式（1）右边的前两项，即

(3)

aC''的大小为 
    计算结果表明，不论ψ为何值，即不论水流的方向如何，科氏加速度在水平面上的投影都等于 
    由式（3）可知，aC''的方向与x''轴成90°+ψ，即与vr垂直。由图7-23c可以看出，顺vr方向看去，aC''是向左的。
    由牛顿第二定律可知，水流有向左的科氏加速度是由于河的右岸对水流作用有向左的力。根据作用与反作用定律，水流对右岸必有反作用力。由于这个力常年累月的作用使河的右岸受到冲刷。这就解释了在自然界观察到的一种现象：在北半球，顺水流的方向看，江河的右岸都受到较明显的冲刷。