理论力学基础-8.4运动学综合问题举例

第四节 运动学综合问题举例

    在运动机构中，为分析某点的运动，若能找出其位置与时间的函数关系，则可直接建立运动方程，用解析法求其运动全过程的速度和加速度。当难以建立点的运动方程、或只对机构某瞬时的运动参数逍巳な保则常用合成运动或平面运动的理论来分析求解。
复杂机构中，可能同时出现点的合成运动和刚体平面运动问题，求解时要综合应用有关理论；有时同一问题可有多种解法，应经分析、比较后，选用较简便的方法求解。

    例8-11 如图8-22a所示机构中，AB =2l，滑块A以匀速u向下运动。图示瞬时，杆OD水平，AD=DB=OD=l，φ=45o。试求该瞬时杆AB和杆OD的角速度、角加速度。

图8-22

【解】

    杆AB作平面运动，图示瞬时速度瞬心在点I，解得其角速度为

   杆AB上与点D重合的点D''的速度大小为

    方向垂直于DI ，自D指向B ，如图8-22a所示。
    取套筒D为动点，动系固结在杆AB上，由速度合成定理

  式中，牵连速度即为杆AB上点D''的速度，即有vD''；相对速度vr自D指向A。ve、vr反向共线，均沿杆AB；而va 应垂直于OD，即沿铅直方向，可见

    图示瞬时杆OD的角速度为

    点A作匀速直线运动，aA=0。杆AB作平面运动，取点A为基点，由点的加速度合成公式，有

    式中aB方向水平，anBA 由B指向A，大小为  。以aB为对角线、anBA和aτBA为邻边作加速度平行四边形，如图8-22b所示，得

    因此杆AB的角加速度为

    逆时针转向。
    仍以点A为基点，则杆AB上点D''的加速度为

(1)

     式中  ， ，方向如图8-22b所示。

    以套筒D为动点，动系固结在杆AB上，由点的加速度合/定理，有

（2）

    因杆OD的角速度等于零，式中绝对加速度aa只有沿其切向的一个分量，方向垂直于OD；牵连加速度ae=aD'' ；科氏加速度  ，大小为

    方向如图所示。将式（1）代入式（2），得

(3)

    作ζ轴垂直于AB，将式（3）向ζ轴投影，得

    解得

    杆OD的角加速度

    转向为顺时针，如图8-22b所示。
    本例中，为求牵连点D''的速度、加速度，应先求出杆AB的角速度、角加速度。角速度用瞬心法计算较为方便。角加速度则要运用基点法、通过建立A、B两点加速度之间的关系来求得。

    例8-12 如图8-23a所示的平面机构中，杆AB的A端与齿轮中心铰接，齿轮沿齿条向上滚动，其中心速度vA=160mm/s；杆AB套在可绕轴O转动的导套内，并可沿导套滑动，那笸际疚恢酶薃B的角速度和角加速度。

图8-23

【解】

    方法一 应用点的合成运动的理论求解

    以点A为动点，动系固结在导套O上。点A的绝对运动是以匀速vA的铅直线运动，绝对速度的大小va=vA；相对运动是随杆AB沿导套O的滑动，轨迹是直线AB；牵连运动是动系随同导套绕轴O的定轴转动，各速度方向如图8-23a所示。根据速度合成定理
 
    作速度平行四切危由几何关系得

    因为杆AB在导套O中滑动，所以杆AB与导套O具有相同的角速度和角加速度。该瞬时其角速度为

    由于点A作匀速直线运动，故绝对加速度为零；点A的相对运动为沿导套O的直线运动，因此ar沿杆AB方向。根据点的加速度合成定理，有

式中科氏加速度  ，大小为

    其方向以及牵连加速度aτe、ane 的方向如图8-23b所示。

图8-23b

    作ζ轴垂直于AB，将加速度矢量方程式向ζ轴投影，得

    解得

    图示瞬时杆AB角加速度

    转向为顺时针。

    方法u 应用点的运动学理论（并结合转动刚体角速度、角加速度的定义）求解 

    以点O为坐标原点，建立如图8-23c所示的直角坐标系。点A沿铅直线运动，设任一瞬时杆与x轴的夹角为φ，由图可知

图8-23c

    对时间求导，有

    因  ，得

    再对时间求导，得

当yA=60mm时， ，所以图示位置杆AB平面运动的角速度、角加速度分别为

    ωAB为正，故其转向与φ的增大转向相同，即为逆时针转向；而αAB为负值，故其转向与φ的增大转向相反，即为顺时针，如图8-23c所示。

    方法三 应用刚体平面运动理论求解

    先计算杆AB上与O点重合的O''点的速度vO''和加速度aO''i以杆AB上点O''为动点，动系固结在导套上。显然，牵连速度ve''、牵连加速度ae''都等于零。由点的速度合成定理，可得

    相对运动为沿导套的直线运i，相对速度vr''的方向自O指向A，所以vO''的方向与vr''相同，如图8-23d所示。

图8-23d

    至此，杆ABiO''、A两点的速度方向均为已知，分别过O''、A两点作其速度的垂线，得速度瞬心I，求得图示位置杆AB的角速度为

    vr''的大小为

    再由点的加速度合成定理，注意到ae''等于零，可得杆AB上点O''的加速度为

(1)

    式中相对加速度ar''、科氏加速度aC'' 的方向如图8-26e所示；ar''的大小未知，aC''的大小为

    杆AB作平面运动，以杆AB上点O''为基点，写出点(套筒)A加速度的矢量表达式

(2)

将式（1）代入式（2），并注意到点A作匀速直线运动，加速度aA等于零，因此得

(3)

    式中各项的方向如图8-23e所示。作ξ轴垂直于AB，将矢量式（3）向ξ轴投影，有

图8-23e

    解出

    得杆AB的角加速度

    三种解法结果相同。相比较而言，第二种方法最为简便，第三种方法较为繁杂。