理论力学基础-8.3平面图形上各点加速度分析的基点法

第三节 平面图形上各点加速度分析的基点法

     设某瞬时平面图形S上点A的加速度为aA，图形的角速度、角加速度分别为ω和α，如图8-18所示。选取点A为基点，则平面图形S的运动可以看成是牵连运动（随同基錋的平动）与相对运动（绕基点A 的转动）的合成，因此可用牵连运动为平动时的加速度合成定理来求解平面图形上任意一点B的加速度。

图8-18

    因为牵连运动是随同基点A的平动，所以点B的牵连加速度就等于基点A 的加速度aA；而点B的相对加速度就是点B随同平面图形绕基点A转动的加速度，用aBA表示。由加速度合成定理，有

（8-4）

    一般情况下，相对加速度aBA由相对切向加速度aτBA和相对法向加速度anBA两部分组成。其中，aτBA 为点B绕基点A转动的切向加速度，其大小等于BAα，方向垂直于BA连线而指向α的转动方向；anBA为点B绕基点A转动的法向加速度，大小等于BAω2，方向沿BA连线，由点B指向点A，如图8-18所示。于是，点的加速度合成公式为

（8-5）

    即 任一瞬时，平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

    式（8-5）是用基点法求解平面图形上任一点加速度的基本公式。具体解题时，若B、A两点都作曲线运b，则B、A两点的加速度也各有其切向加速度和法向加速度两个分量，这时式（8-5）中最多可有六项，有大小、方向共计十二个要素，分析各项的方向、计算各项的大小时一定要认真仔细，
式（8-5）是一平面矢量方程式，只能求解两个未知量。具体解题时，通常是将此式向两个不b平行的坐标轴投影，得到两个投影表达式，用以求解两个未知量。

    例8-8 如图8-19a所示的曲柄连杆机构中，已知连杆AB长1m，曲柄OA长0.2m，以匀角速度ω=10rad/s绕轴Ob动。试求在图示位置时滑块B的加速度和连杆AB的角加速度。

图8-19

【解】

    杆AB作平面运动，图示位置时速度瞬心在点I，如图8-19a所示。杆AB的角速度为

    以点A为基点，由式（8-5）有点B的加速度的矢量合成式为

    式中，因为曲柄OA作匀速转动，故点A的加速度aA 的方向由A指向O，大小为

    anBA的方向由B指向A，大小为

    aτBA的方向垂直于BA杆，指向假设如图；aB 的方向沿滑槽中心线，指.假设向左。
    沿BA方向作ζ轴，铅直向上作η轴，如图8-19b所示。分别向ζ轴和η轴投影，得

    解得

    所得结果都是正的，表示实际方向与图中的假设方向相同，如图8-19b所示。

例8-9 半径为r的圆轮在一静止曲面上作只滚不滑的运动，图示瞬时，曲面的曲率半径为R，轮心O的速度为vO，切向加速度为aτO，如图8-20a所示。试求圆轮边缘上A、B、C三点的加速度。

图8-20

【解】
 圆轮作平面运动，轮缘上点C为速度瞬心，圆轮的角速度为

（1）

    圆轮的角加速度α等于角速度ω对时间的一阶导数。对只滚不滑的圆轮而言，上式在任何瞬时都成立，所以可对时间t求导，得圆轮的角加速度

（2）

α、ω的转向如图8-20a所示。

    轮心O作曲线运动，其速度vO、切向加速度为aτO均为已知；图示位置，轮心O的运动轨迹的曲率半径为R+r，故其法向加速度的大小为

    方向铅直向下，指向曲率中心O''，如图8-20b所示。

    下面求各点的加速度。以轮心O为基点，如图8-22b所示，轮缘上A、B、C三点相对于基点的切向s速度的分别垂直于半径AO、BO和CO，与角加速度α的转向一致，大小为

    A、B、C三点相对于基点的法向加速度的沿半径AO、BO和CO指向轮心O，大s为

由  (3)
(4)
(5)

    作x 轴水平向右，y轴铅直向上，将式(3)、式(4)、式(5)分别向x、y轴投影，得

    圆轮上速度瞬心C的加速度大小为 ，方向沿半径指向轮心O。

    由本题可以看出，虽然速度瞬心的速度为零，但加速度并不等于零。因此，切不可将速度瞬心当作加速度为零的点来求图形内其他各点的加速度。
轮心为O、半径为r的圆轮沿静止不动的轨道只滚不滑时，其平面运动的角速度ω、角加速度α分别由式（1）、式（2）确定（若圆轮在直线轨道上纯滚动，则角加速度又可写成  ，这在解题时经常用到，可作为公式加以运用。

    例8-10 在图8-21a所示的平面机构中，O1A=AB=2l，O2B=l，摇杆O1A以匀角速度ω1绕轴O1转动。图示瞬时，A、B两点的连线水平，两摇杆O1A、O2B方向平行，且θ=60o。试求矩形板D的角加速度α和摇杆O2B的角加速度α2。

图8-21

【解】
    机构中两摇杆O1A、O2B均作定轴转动，矩形板D作平面运动。图示瞬时，vA、vB方向平行，且与A、B两点的连线不相垂直，故该瞬时板D作瞬时平动，如图8-21a所示。此时，板D平面运动的角速度为ω=0。故点B的速度大小为

    摇杆O2B的角速度 

    转向如图8-21a所示。

    下面再求矩形板D的角加速度α。设板D、摇杆O2B的角加速度均沿顺时针转向，选取点A为基点。因为摇杆O1A作匀速转动，故aA只有法向加速度一个分量；点B为杆O2B上的一点，有切向加速度和法向加速度两个分量。由点的加速度合成公式得点B的加速度为

式中

    各项的方向如图8-21b所示。沿O2B作ζ轴，沿AB连线作η轴，如图8-21b所示。将上式分别向ζ轴和η轴投影，得

    解得

    最后解得板D和摇杆O2B的角加速度为

    因为α2为负值，故其实际转向与原假设相反，应为逆时针转向。
   由本例可见，作瞬时平动的矩形板D的角加速度不等于零，板上两点A、B的加速度也不相等。