理论力学基础-7.2点的速度合成定理

第二节点的速度合成定理

例7-2 如图7-9所示，机器A连同基座B安装在弹性基础上，按规律 沿铅直方向振动，式中δ、ω0均为常量。机器中的飞轮D，半径为r，以匀角速度ω转动。t=π/2(ω0)时，轮缘上1、2两点在图示位置。试求这两点在该瞬时相对于地面的速度。

【解】

   取1、2两点为动点，机器为动系。

   动点的绝对轨迹为平面曲线，相对轨迹为圆，牵连运动为平动。由所给条件可求得1、2两点的相对速度vr1、 vr2为：vr1=rω，方向向上；vr2=rω，方向向左。由于牵连运动为平动，平动刚体上各点的速度相同。
因 
   当t=π/2(ω0)时 
    故此时1、2两点的牵连速度ve1=ve2=δω0 ，方向与y轴方向相反，如图7-9所示。
    作出动点1、2的速度平行四边形，如图7-9所示。由图可见，va1的大小为

设 ，则va1的方向和vr1相同。
因vr2⊥ve2 ，故 
va2与vr2的夹角θ为


    例7-3 图7-10所示的摆杆机构中的滑杆AB以匀速u向上运动，铰链O与滑槽间的距离为l，开始时φ=0，试求φ=π/4时摆杆OD上D点的速度的大小。

【解】

    D是作定轴转动刚体上的点，要求点D的速度，必须先求得杆OD的角速度。因此，应通过对两运动部件的联接点A的运动分析，由已知运动量求得待求运动量。

   取A为动点，杆OD为动系。

    A为作直线平动的杆AB上的点，其绝对轨迹为铅垂直线。滑块在OD上滑动，A傧喽怨旒Ｎ沿OD的直线。动系OD的牵连运动为绕轴O的定轴转动。
作动点的速度平行四边形如图7-10所示。作速度图时，先作大小、方向已知的矢量va，vr 大小未知，方向沿相对轨迹；ve 大小未知，方向垂直于OD连线；根据va应在速度平行四边形的对角线方向，可定出ve、vr 的正确指向。

由图可见
 
杆OD作定轴转动，得 

由图可知，ω为逆时针转向。D点的速度大小

方向垂直于OD，指向如图。
[参考图]

例7-4 已知定滑轮半径为R，以等角速度ω绕轴O顺时针方向转动，重物M铅垂下落，如图7-11所示。试求图示瞬时M相对于滑轮的相对速度。

【解】

    本题要求M相w于滑轮的运动，应取M为动点，滑轮为动系。

    动点的绝对轨迹为铅垂直线，相对轨迹为平面曲线，牵连运动为绕轴O的定轴转动。
作动点的速度平行四边形时，先作已知的绝对速度va ，牵连速度ve 为固结于滑轮的动坐标面上和动点M相重合的点的速度，它垂直于牵连点和轴心O的连线，方向如图，相对速度vr大小、方向未知，为速度平行四边形的一边，如图7-11所示。

    由余弦定理 
    式中 


代入上式，求得 
由正弦定理 
得 
    由计算结果可知，图示瞬时vr沿水平线方向。

图7-11

    例7-5 销钉M可在直角杆BCD的铅垂槽内滑动，同时又在杆OA的直槽中滑动，如图7-12a所示。若杆BCD以匀速v1向右运动，杆OA以匀角速度ω绕O作顺时针方向转动，当θ=45o时，OM为l。试求该瞬时销钉M的绝对速度。

【解】

    销M为两运动部件的联接点，它相对于BCD、 OA都有运动。故本题应分别考虑M相对于BCD、 OA的运动情况。
    取M为动点，先取BCD为动系。动点的绝对轨迹为平面曲线，相对轨迹为铅垂直线，牵连运动为水平直线平动。作动点的速度图时，先画ve1 = v1 ，再画vr1 沿铅垂线方向，设其向下，如图7-12b所示。根据速度合成定理，有
(1)
    再取OA为动系，动点的相对轨迹为沿OA的直线，牵连运动为绕轴O的定轴转动。先作ve2垂直于OM连线，顺ω的转向，再画vr2沿OM连线，设其指向点O。如图7-12b所示。根据速度合成定理，有
(2)
    因动点M的速度唯一，得

    ve1和vr1、ve2和vr2分别互相垂直，牵连速度已知，只需求得相对速度中任一个的大小，即可求得绝对速度的大小。例如求vr1，可取投影轴ζ垂直于vr2，将矢量等式向ζ轴投影

得 

    若vr1＞0，即 ，va如图7-12c中实线方向；
    若vr1＜0，即  ，va如图7-12c中虚线方向。
    由以上各例可见，运用点的速度合成定理解题的步骤为：①先取动点、动系；②运动分析，分析三种运

    动及动点的三种速度；③作动点的速度合成图；④求解未知量。

图7-12b

图7-12c