理论力学基础-8.2平面图形上各点的速度

第二节 平面图形上各点的速度

一、速度基点法和速度投影定理

1．速度基点法

    平面图形的运动可以宄墒乔Ａ运动（随同基点A的平动）与相对运动（绕基点A 的转动）的合成，因此平面图形上任意一点B的运动也可用合成运动的概念进行分析，其速度可用速度合成定理求解。
    因为牵连运动是平动，所以点B的牵连速度就等于基点A的速度vA，而点B的相对速度是点B随同平面图形绕基点A转动的速度，以vBA表示，其大小等于BAω（ω为图形的角速度），方向垂直于BA连线而指向图形的转动方向，如图8-4所示。

图8-4

    以vA和vBA为两邻边作出速度平行四边形，则点B的绝对速度由这个平行四边形的对角线所表示，即

    （8-2）

    上式称为速度合成的矢量式。注意到A、B是平面图形上的任意两点，选取点A为基点时，另一点B的速度由式（8-2）确定；但若选取点B为基点，则点A的速度表达式应写为 。由此可得速度合成定理：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。 
    应用式（8-2）分析求解平面图形上点的速度问题的方法称为速度基点法，又叫做速度合成法。式（8-2）中共有三个矢量，各有大小和方向两个要素，总计六个要素，要使问题可解，一般应有四个要素是已知的。考虑到相对速度vBA的方向必定垂直于连线BA，于是只需再知道任何其它三个要素，即可解得剩余的两个未知量。

2. 速度投影定理

    定理 同一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
    证明 设A、B是平面图形上的任意两点，速度分别为vA和vB ，如图8-4所示。将式（8-2）投影到AB连线上，并注意到vBA垂直于AB，在AB连线上的投影为零，则可得vB在连线AB上的投影(vB)AB等于vA在连线AB上的投影(vA)AB，即

（8-3）

    于是定理得到了证明。
    这个定理反映了刚体不变形的特性，因刚体上任意两点间的距离应保持不变，所以刚体上任意两点的速度在这两点连线上的投影应该相等，否则，这两点间的距离不是伸长，就要缩短，这将与刚体的性质相矛盾。因此，速度投影定理不仅适用于刚体作平面运动，而且也适用于刚体的一般运动。 应用速胀队岸ɡ砬蠼馄矫嫱夹紊系愕乃俣任侍猓有时是很方便的。但由于式（8-3）中不出现转动时的相对速度，故用此定理不能直接解得平面图形的角速度。

二、速度瞬心法

1. 定理

    一般情况下，每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。
    证明 设有一平面图形S，已知其上点A的速度为vA，角速度为ω。自点A沿vA的指向作半直线AN，将此线绕点A按图形角速度ω的转向转过90o，得半直线AN''，如图8-9所示。

图8-9

    取点A为基点，根据速度基点法，AN''上任一点M的速度均可按下式计算

    由图中看出，vM与vMA反向共线，故vM的大小为

    由上式可知，随着距离AM从零p始的逐渐增大，vM的数值将不断减小。所以在半直线AN''上，总可以找到一点I，点I的位置由下式确定

    点I的速度大小为

    显然，这样的I点是唯一的，于是定理得到证明。
    在某瞬时，平面图形上速度为零的点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称为速度瞬心或瞬心r

2. 平面图形上各点速度的分布

    确定了速度瞬心I的位置之后，设取点I为基点，则该瞬时平面图形上任意一点M的速度可表示为

    上式表明：任一瞬时，平面图形上任一点的速度等于该点随图形绕速度瞬心转动的速度。点M的速度大小为

    方向垂直于MI。图上各点的速度分布如图8-10所示。

图8-10

    因此，平面图形上各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比，度方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。与图形作定轴转动时各点速度的分布情况相似。
必须强调指出，在不同瞬时，速度瞬心在图形上的位置是不同的。速度瞬心在该瞬时的速度等于零，但加速度一般并不为零。

3. 速度瞬心位置的确定和瞬时平动

    综上所述，如果已知平面图形在某一瞬时的速度瞬心的位置和角速度，则在该瞬时，图形上任一点速度的大小和方向就可以完全确定。解题时，根据运动机构的几何条件，确定速度瞬心的位置有如下几种情况：

1)若平面图形沿一固定面滚动而无滑动，如图8-11所示，则图形与固定面的接触点I就是该瞬时图形的速度瞬心。例8-3中轮缘上与轨道的接触点C即为速度瞬心，车轮在滚动过程中，轮缘上各点相继与地面接触而成为车轮在不同瞬时的速度瞬心。

图8-11

2）已知某瞬时平面图形上任意两点的速度方向，且两者不相平行，则速度瞬心必在过每一点且与该点速度垂直的直线上。在图8-12中，已知图形上A、B两点的速度分别是vA和vB，过点A作vA的垂线；再过点B作vB的垂线，则这两垂线的交点I就是该瞬时平面图形的速度瞬心。

图8-12

3）已知某瞬时平面图形上两点的速度骰テ叫校并且速度的方向垂直于这两点的连线，但两速度的大小不等，则图形的速度瞬心必在这两点的连线与两速度矢端的连线的交点。在图8-13a中，A、B两点的速度vA和vB同向平行且垂直于连线AB的情况，此时速度瞬心I就在AB连线与速度矢vA和vB端点连线的交点，显然，此时速度瞬心I位于A、B两点之外；在图8-13b中，A、B两点的速度vA和vB反向平行的情况，此时速度瞬心I位于A、B两点之间。当然，欲确定速度瞬心I的具体位置，不仅需要知道A、B两点间的距离，而且还应知道vA和vB的大小。

图8-13

4）已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，但速度方向与这两点的连线不相垂直，如图8-14a所示；或虽然速度方向与这两点的连线垂直，但两速度的大小相等，如图8-14b所示，则该瞬时图形的速p瞬心在无限远处，图形的这种运动状态称为瞬时平动。此时，图形的角速度等于零，图形上各点的速度大小相等，方向相同，速度分布与平动时相似。 
必须注意，瞬时平动只是刚体平面运动的一个瞬态，与刚体的平动是两个不同的概念，瞬时平动时，虽然图形的角速度为零p图形上各点的速度相等，但图形的角加速度一般不等于零，图形上各点的加速度也不相同。
    综上所述，对于平面运动速度问题可用三种方法进行求解。速度基点法是一种基本方法，可以求解图形上一点的速度或图形的角速度，作图时必须保证所求点的速度为平行四边形的对角线；当已知平面图形上某一点的速度大小和方向以及另一点的速度方向时，用速度投影定理可方便地求得该点的速度大小，但不能直接求出图形的角速度；速度瞬心法既可求解平面图形的角速度，也可求解其上一点的速度，是一种直观、方便的方法。