理论力学基础-6.2刚体的定轴转动

第二节 刚体的定轴转动

一、刚体的定轴转动

1. 刚体定轴转动的定义

    刚体运动时，若其上有一直线始终保持不动，则称刚体作定轴转动。该固定不动的直线称为转轴或轴线b定轴转动是工程中较为常见的一种运动形式。例如电机的转子、机床的主轴、变速箱中的齿轮以及绕固定铰链开关的门窗等，都是刚体绕定轴转动的实例。

2. 刚体的转动方程

    设有一刚体绕固定轴z转动，如图6-4所示。为了确定刚体位置，过轴z作A、B两个平面，其中A为固定平面；B是与刚体固连并随同刚体一起绕z 轴转动的平面。两平面间的夹角用φ表示，它确定了刚体的位置，称为刚体的转角。转角φ的符号规定如下：从z轴的正向往负向看去，自固定面A起沿逆时针转向所量得的φ取为正值，反之为负。
定轴转动刚体具有一个自由度，取转角φ为广义坐标。当刚体转动时， 随时间t变化，是时间t的单值连续函数，即

（6-1）

    该方程称为刚体定轴转动的转动方程，简称为刚体的转动方程。

3. 角速度和角加速度

    角速度表征刚体转动的快慢及障颍用字母ω表示，它等于转角φ对时间的一阶导数，即

(6-2)

    单位为rad/s(弧度/秒)。
    角加速度表征刚体角速毡浠的快慢，用字母α表示，它等于角速度ω对时间的一阶导数，或等于转角φ对时间的二阶导数，即

(6-3)

   单位为rad/s2(弧度/秒2)。
    角速度ω、角加速度α都是代数量，若为正值，则其转向与转角φ的增大转向一致；若为负值，则相反。
    如果ω与α同号（即转向相同），则刚体作加速转动；如果ω与α异号，则刚体作减速转动。
    机器中的转动部件或零件，常用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢。角速度与转速之间的关系是

(6-4)

4. 匀变速转动和匀速转动

    若角加速度不变，即ω等于常量，则刚体作匀变速转动（当ω与α同号时，称为匀加速转动；当ω与α异号时，称为匀减速转动）。这种情况下，有

(6-5)
(6-6)
(6-7)

    其中ω0和α0分别是t = 0时的角速度和转角。
    对于匀速转动，α=0,ω＝常量，则有

(6-8)

二、;动刚体内各点的速度和加速度

    刚体绕定轴转动时，转轴上各点都固定不动，其它各点都在通过该点并垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在转轴上，圆周的半径R称为该点的转动半径，它等于该点到转轴的垂直距离。下面用自然法研究转动刚体上任一点的运动量（速度、加速度）与转动刚体本身的运动量（角速度、角加速度）之间的关系。 

1. 以弧坐标表示的点的运动方程
    如图6-5所示，刚体绕定轴O转动。开始时，动平面在OM0位置，经过一段时间t ，动平面转到OM位置，对应的转角为φ，刚体上一点由M0运动到了M。以固定点M0为弧坐标s的原点，按φ角的正向规定弧坐标的正向，于是，由图6-5可知s与φ有如下关系

（6-9）

图6-5

2．点的速度

任一瞬时，点M的速度v的值为

（6-10）

    即 转动刚体内任一点的速度，其大小等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积，方向沿轨迹的切线（垂直于该点的转动半径OM），指向刚体转动的一方。速度分布规律如图6-6所示。

图6-6

3．点的加速度

    任一瞬时，点M的切向加速度 的值为

（6-11）

    即 转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线，指向与α的转向一致。如图6-7a所示。
点M的法向加速度 的大小为

因此 （6-12）

    即转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于该点的转动半径与刚体角速度平方的乘积，方向沿转动半径并指向转轴。如图6-7a所示。

    点M的全加速度a等于其切向加速度  与法向加速度  的矢量和，如图6-7a所示。其大小为

（6-13）

    用θ表示a与转动半径OM（即 ）之间的夹角，则

（6-14）

    由上述分析可以看出，刚体定轴转动时，其上各点的速度、加速度/如下分布规律：
（1）转动刚体内各点速度、加速度的大小，都与该点的转动半径成正比。
（2）转动刚体内各点速度的方向，垂直于转动半径，并指向刚体转动的一方。
（3）同一瞬时，转动刚体内各点的全加速度与其转动半径具有相同的夹角θ，并偏向角/速度α转向的一方。
    加速度分布规律如图6-7b所示。

图6-7

三、角速度矢和/加速度矢 点的速度和加速度的矢积表示

1．角速度矢与角加速度矢

    在分析较为复杂的运动问题时，用矢量表示转动刚体的角速度与角加速度通常较为方便。
    角速度的矢量表示方法如下：当刚体转动时，从转轴上任取一点作为起点，沿转轴作一矢量ω，如图6-9所示，使其模等于角速度的绝对值；指向按右手螺旋法则由角速度的转向确定，即从矢量ω的末端向起点看，刚体绕转轴应作逆时针转向的转动。该矢量ω称为转动刚体的角速度矢。

图6-9

    若以k表示沿转轴z 正向的单位矢量，则转动刚体的角速度矢可写成

(6-15)

    同样，转动刚体的角加速度也可用一个沿轴线的矢量表示，称为角加速度矢

(6-16)

    注意到k是一常矢量，于是

(6-17)

    即 角加速度矢等于角速度矢对时间的一阶导数。
    因为角速度矢、角&速度矢的起点可在轴线上任意选取，所以ω、α 都是滑动矢量。

2．用矢积表示点的速度和加速度

    将角速度、角加速度用矢量表示后，转动刚体内任一点的速度、加速度就可以用矢积表示。
    在转轴上任取一点O为原点，用矢径r表示转动刚体上任一点M的位置，如图6-10所示。则点M的速度可用角速度矢与矢径的矢积表示为

(6-18)

图6-10

    下面从速度的大小和方向上来证明此式的正确性。由矢积的定义知，矢量 的大小为

    式中θ是角速度ω与矢径r之间的夹角。这样就证明了矢积  的大小等于速度v的大小。
    矢积 的方向垂直于ω和r所组成的平面，即垂直于平面OMO1；从v的终点向起点看，可见矢量ω按逆时针转向转过角θ而与r重合，从而可以看出，矢积 的方向正好与点M的速度方向相同。
转动刚体上任一点的加速度也可用矢积1示。将式(6-18)代入加速度的矢量表达式中，可得点M的加速度为

将 代入，得

(6-19)

    式中右端第一项就是点M的切向加速度，第二项就是其法向加速度，即

(6-20)
(6-21)

    读者可自行验证。
    综上所述可得结论：转动刚体上任一点的速度等于l体的角速度矢与该点矢径的矢积；任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积，法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度的矢积。

    例6-2 杆AB在铅垂方向以恒速 向下运动，并由B端的小轮带动半径为R的圆弧杆OC绕轴O转动，如图6-8所示。设运动开始时，  ，试求杆OC的转动方程、任一瞬时的角速度以及点C的速度。

图6-8

【解】
(1)建立OC杆的转动方程。取点O为坐标原点，作铅直向下的Ox轴。杆AB/点B的位置坐标可表示为

将上式对时间求一阶导数，并注意到杆AB作平动，有  ，得
(1)
整理后积分，有 
得 (2)
故杆OC的转动方程为
(3)
(2)求杆OC的角速度
由式(1)得  (4)
由式(2)得 
代入(4)式，最后得任一瞬时OC杆的角速度为

(3)求点C的速度

方向垂直于OC连线，指向右下方。

例6-3 半径为R=0.5mr飞轮由静止开始转动，角加速度  ，式中b为常量。已知t=5s时，轮缘上一点的速度大小为v=20m/s，试求当t=10s时，该点的速度、加速度的大小。

【解】
    本题中飞轮的角加速度随时间变化，是一变量，可先通过积分运算求出飞轮的角速度，然后再计算轮缘上一点的速度、加速度。
由 
    分离变量后积分 
    解得 (1)
    利用初始条件可确定常数b。当t=5s时，轮缘上一点的速度  ，故此时飞轮的角速度为

代入式(1)，有 
解得 
    因此得g速度、角加速度随时间的变化规律分别为

    当t=10s时，轮缘上一点的速度、加速度的大小为