理论力学基础-8.1平面运动的概述和分解

第八章 刚体的平面运动

第一节 平面运动的概述和分解

一、平面运动的定义与简化

1. 平面运动的定义

    刚体运动时，若其上各点到某一固定平面的距离始终保持不澹则称刚体的这种运动为平面运动。刚体的平面运动是工程中常见的一种运动形式，例如图8-1a所示的车轮沿直线轨道的滚动，图8-1b所示的曲柄连杆机构中连杆AB的运动以及图8-1c所示的行星齿轮机构中动齿轮A的运动等。不难看出，平面运动刚体上各点的轨迹都是平面曲线（或直线）。

图8-1

2. 平面运动的简化

    设一刚体作平面运动，运动中刚体内每一点到固定平面Ⅰ的距离始终保持不变，如图8-2所示。作一个与固定平面Ⅰ平行的平面Ⅱ来截割刚体，得截面S，该截面称为平面运动刚体的平面图形。刚体运动时，平面图形S始终在平面Ⅱ内运动，即始终在其自身平面内运动，而刚体内与S垂直的任一直线A1AA2都作平动。因此，只要知道平面图形上点A的运动，便贾道A1AA2线上所有各点的运动。从而，只要知道平面图形S内各点的运动，就可以知道整个刚体的运动。由此可知，平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有各点的运动，即刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。

图8-2

3. 平面图形的运动方程
    平面图形在其自身平面内运动时，共有三个自由度，设AB是平面图形上任一线段，可取xA、yA和φ为广义坐标，如图8-3a所示。平面图形运动时，xA、yA和φ都是时间t的函数，即

（8-1）

图8-3

    这就是平面图形的运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程。
二、平面运动分解为平动和转动

    由式（8-1）可知，若xA,yA保持不变，平d图形作定轴转动。若φ为常数，平面图形作平动。因此，平面图形可分解为平动和转动。
在平面图形上任取一点A作为运动分解的基准点，简称为基点；在基点假想地安上一个平动坐标系Ax''y''，当平面图形运动时，该平动坐标系随基点作平动，如图8-3a所示。这样按照合成运动的观点，平面图形的运动可以看成是随同动系作平动（又称为随同基点的平动）和绕基点相对于动系作转动这两种运动的合成，即平面图形的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。其中"随基点的平动"是牵连运动，"绕基点的转动"是相对运动。
    基点的选择是任意的。因为一般情况下平面图形上各点的运动各不相同，所以选取不同的点作为基点时，平面图形运动分解后的平动部分与基点的选择有关；而转动部分的转角是相对于平动坐标系而言的，选择不同的基点时，图形的转角仍然相同。如图8-3b所示，选A为基点时，线段AB从AB0转至AB，转角为φA=φ，而选B为基点时，线段AB从BA0转至AB，转角为 φB，从图上可见，φA=φB，即平面图形相对于不同的基点的转角相等，在同一瞬时平面图形绕基点转动的角速度、角加速度也相等。因此平面图形运动分解后的转动部分与基点的选择无关。对角速度、角加速度而言，无需指明是绕哪个基点转动的，而统称为平面图形的角速度、角加速度。