理论力学基础-7.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理

第三节 牵连运动为平动时点的加速度合成定理

    在点的合成运动中，速度合成定理和牵连运动的形式无关，加速度合成定理则和牵连运动的形式有关。本节讨论牵连运动为平动时点的加速度合成问题。
设动点相对于动系沿相对轨迹C运动，动系O''x''y''z''相对于静系Oxyz作平动，取 x''，y''，z''轴分别和x，y，z轴相平行，如图7-13所示。由图可见，x''，y''，z''为动点的相对坐标，i''，j''，k''为动坐标轴的单位矢量。

图7-13

    由速度合成定理 
    等式两端对时间求一阶导数，得

    由式(7-1)知，上式左端为动点对静系的绝对加速度aa，即

(7-5)

    由于动系作平动，动系上各点的速度或加速度在任一瞬时都相同，因此，动点的牵连速度ve和牵连加速度ae就等于动系原点O''的速度vO''和加速度aO'' ，即

    因此

(7-6)

    由式(7-2)，将vr对时间求一阶导数，得

    将式(7-2)中 
    代入，并注意到动系平动时单位矢量i''，j''，k''的方向不变，为常矢量，它们对时间t的导数均为零，于是

(7-7)

    将式(7-6)、式(7-7)代入式 (7-5) ，得

(7-8)

    上式表明，当动系作平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理。
    由于式(7-8)中三种加速度都可能有切向和法向两个分量，故用加速度合成定理解题时，常采用取轴将矢量式投影的方法求未知量。若为平面问题，可写出两个独立的投影方程，求得两个未知量。另外，作加速度图时，未知加速度的指向可先假设，由求得的结果的正负决定其指向是否设对。

    例7-6 在图7-14a所示位置，小车以速度vA=0.2 m/s、加速度aA=0.2 m/s2向右移动，杆AB长0.7m，在A处与小车铰接，并在铅垂平面内摆动，该瞬时角速度ω=1rad/s，角加速度α=2rad/s2 ，转向如图。试求此时点B的速度、加速度的大小。

【解b

    取B为动点，小车A为动系。
    动点的绝对轨迹为平面曲线，相对轨迹为圆心在A点、半径等于AB的圆，牵连运动为平动。以ve、vr为边、va为对角线作速度平行四边形，如图7-14a所示。由几何关系可知

    因 
    代入上式得 
    作加速度图。aa大小方向未知，用aax、aay表示，取投影轴x、y如图7-14b所示。
由 
向x、y投影，得

式中

解得

图7-14a

图7-14b

例7-7 如图7-15a所示的机构，已知O1A=O2B=r，且O1A∥O2B，杆O1A以角速度ω、角加速度α绕轴O1转动，通过滑块C带动杆CD运动。试求图示位置杆CD速度、加速度。

【解】

    取C为动点，杆AB为动系。
    动点的绝对轨迹为铅垂直线，相对轨迹蜒谹B的水平直线，牵连运动为平动。作速度平行四边形时，注意到动系作平动，C点的牵连速度ve等于A点的速度，先作ve,再根据va为速度平行四边形的对角线，定出va 、vr 的正确指向，如图7-15a所示，由几何关系得

    作加速度图。先作出牵连加速度aeτ，aen的正确指向，再作 aa 、ar 沿其轨迹方8，假设其指向如图7-15b所示。取投影轴ζ垂直于 ar 
将 
向ζ轴投影，得 
式中 
得 

    由以上例可见，用加速度合成定理解题的解题步骤和用速度合成定理基本相同。在求加速度量时，常常先需求出部分速度量。 

图7-15a

图7-15b