理论力学基础-7.1相对运动、绝对运动和牵连运动

第七章 点的合成运动

第一节 相对运动、绝对运动和牵连运动

    在不同的参考体中研究同一个物体的运动，看到的运动情况是不同的。例如，图7-1a所示的自行车沿水平地面直线行驶，其后轮上的点Mi对于站在地面的观察者来说，轨迹为旋轮线，但对于骑车者，轨迹则是圆。又如，在车床上加工螺纹，对于操作者来说，车刀刀尖作直线运动，但它在旋转的工件上切出的却是螺线，如图7-1b所示。

    同一个物体相对于不同的参考体的运动量之间，存在着确定的关系。例如，图7-1a中，点M相对于地面作旋轮线运动，若以车架为参考体，车架本身作直线平动，点M相对于车架作圆周运动，点M的旋轮线运动可视为车架的平动和点M相对于车架的圆周运动的合成。将一种运动看作为两种运动的合成，这就是合成运动的方法。
可用合成运动的方法解决的问题，大致分为三类。
（1）把复杂的运动分解成两种简单的运动，求得简单运动的运动量后，再加以合成。这种化繁为简的研究问题的方法，在解决工程实际问题时，具有重要意义。
（2）讨论机构中运动构件运动量之间的关系。例如，图7-2所示的曲柄摇杆机构，已知曲柄OA的角速度 ，可用合成运动的方法求得摇杆O1B的角速度。

（3）研究无直接联系的两运动物体运动量之间的关系。例如，大海上有甲、乙两艘行船，可用合成运动的方法求在甲船上所看到的乙船的运动量。 

    在点的合成运动中，将所考察的点称为动点。动点可以是运动刚体B的一个点，也可以是一个被抽象为点的物体。在工程问题中，一般将静坐标系（简称为静系）Oxyz固连于地球，而把动坐标系（简称为动系）O''x''y''z''建立在相对于静系运动的物体上，习惯上也将该物体称为动系。图7-1中，静系固连于地球，动系则分别固连于车架、工件。静系一般可不画出来，和地球相固连时也不必说明。动系也可不画，但一定要指明取哪个物体作为动系。
    选定了动点、动系和静系以后，可将运动区分为三种：(1)动点相对于静系的运动称为绝对运动。在静系中看到的动点的轨迹为绝对轨迹。(2)动点相对于动系的运动称为相对运动。在动系中看到的动点的轨迹为相对轨迹。(3)动系相对于静系的运动称为牵连运动。牵连运动为刚体运动，它可以是平动、定轴转动或复杂运动。仍以图7-1a为例，取后车轮上的点M为动点，车架为动系，点M相对于地面的运动为绝对运动，绝对轨迹为旋轮线；点M相对于车架的贫为相对运动，相对轨迹为圆；车架的牵连运动为平动。在图7-1b中，取刀尖M为动点，工件为动系，点M相对于地面的运动为绝对运动，绝对轨迹为直线；点M相对于工件的运动为相对运动，相对轨迹为螺旋线；工件的牵连运动为转动。 
    用合成运动的方蒲芯课侍獾墓丶在于合理的选择动点、动系。动点、动系的选择原则是：（1）动点相对于动系有相对运动。如在图7-1a中，取后车轮上的点M为动点，就不能再取后轮为动系，必须把动系建立在车架上。（2）动点的相对轨迹应简单、直观。例如，在图7-2所示的曲柄摇杆机构中，取点A为动点，杆O1B为动系，动点的相对轨迹为沿着AB的直线。若取杆O1B上和点A重合的点为动点，杆OA为动系，动点的相对轨迹不便直观地判断，为一平面曲线。对比这两种选择方法，前一种方法是取两运动部件的不变的接触点为动点，故相对轨迹简单。
    在图7-3a中杆O1A以角速度ω 绕轴O1转动，小球M在固结于杆AB上的环形管内运动，取M为动点，AB为动系。在地面上看到的动点的绝对轨迹为平面曲线；在AB上观察，M的相对轨迹为圆；由于在运动过程中，AB始终保持和O1O2平行，故牵连运动为平动，动系AB上各点的轨迹均为半径等于O1A杆长的圆。
在图7-3b所示机构中，偏心轮以角速度ω绕轴O1转动，从而推动杆ABC上下运动。在该机构中，由于偏心轮和推杆的接触点对于两物体来说，都不是确定的点，如取某一物体上的瞬时接触点为动点，另一个物体为动系，相对轨迹较难判断。注意到偏心轮轮心到推杆的距离某植槐洌可取轮心O为动点，推杆ABC为动系。偏心轮作定轴转动，动点的绝对轨迹为圆；因推杆ABC为平底，且点O到BC的距离不变，故相对轨迹为水平直线；牵连运动为铅垂直线平动。 

    绝对运动和相对运动是同一个动点相对于不同的坐标系的运动，它们的运动描述方法是完全相同的。如图7-4所示，动点M作空间曲线运动，取动、静两个坐标系，动点相对于静系Oxyz的运动，用绝对矢径r、绝对速度va 、绝对加速度aa 来表示。它们之间的关系为

(7-1)

    动点相对于动系 O''x''y''z''的运动，用相对矢径r''、相对速度vr、相对加速度ar来表示，即

(7-2)

图7-4

    牵连运动是刚体运动，是整个动系的运动。将某一瞬时动系上和动点相重合的一点称为牵连点。牵连点的速度、加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度，分别用ve和ae来表示。牵连点是一个瞬时的概念，随着动点的运动，动系上牵连点的位置亦不断变动。例如，图7-5所示的圆盘绕轴O作定轴转动，滑块M在圆盘上沿直槽由O向外滑动 。取滑块为动点，圆盘为动系，t1瞬时，圆盘上与动点M重合的一点是A点，圆盘上的点A为t1瞬时的牵连点，t2瞬时，M到达B处，圆盘上的点B为t2瞬时的牵连点，牵连速度、牵连加速度分别如图7-5所示。

    静系和动系是两个不同的坐标系，若已知动系的运动规律，可通过坐标变换求得动点绝对运动方程和相对运动方程的关系。以平面问题为例，如a7-6所示，设Oxy为静系，O''x''y''z''为动系，M是动点。动点的绝对运动方程为
x = x(t) y =y(t)
    动点的相对运动方程为
x''=x''(t) y''=y''(t) 
    动系O''x''y''z''相对于静系Oxy的运动可由以下三个方程完全描述

图7-6

    由图7-6容易看出，动点M在静系中的坐标x，y与其在动系中的坐标x'',y''有如下关系

(7-3)

    利用上述关系式，已知牵连运动方程，可由相n运动方程求得绝对运动方程，或由绝对运动方程求得相对运动方程。

    例7-1 点M相对于动系O''x''y''沿半径r=40mm的圆周以速度v = 40mm/s作匀速圆周运动，动系O''x''y''相对于静系Oxy以匀角速度ω=1rad/s绕点O作定轴转动，如图7-7所示。初始时O''x''y''与Oxy重合，点M和点O重合。试求点M的绝对轨迹。

图7-7

【解】
    动点的相对运动和动系趿运动情况已知，可通过坐标变换建立动点的绝对运动方程，然后再求绝对轨迹。
    连接O1M，由图可见 
   点M的相对运动方程为
 
   动系牵连运动方程为

    利用坐标变换式（7-3），得点M的绝对运动方程为

   从运动方程中消去时间t，得M的轨迹：

   由式可见，动点的绝对轨迹为圆，该圆的圆心在Ox轴上，半径为40mm。