理论力学基础-4.2虚位移原理

第二节 虚位移原理

一、虚位移原理
    设有一质点系处于静止平衡。取质点系中任一质点Mi，如图4-7所示，作用在该质点上的主功力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi。因为质点系平衡，因此有  。若给质点系以某个虚位移，其中质点Mi上的力Fi和FNi的虚功的和为

    对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式。我们将这些等式相加，得

    如果质点系具有理想约束，则约束反力在虚<移中所作虚功的和为零，即
 ，代入上式得

（4-3）

图4-7

    因此，具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。这就t虚位移原理，又称虚功原理，式（4-3）称为虚功方程，也可写成解析表达式

（4-4）

    其中Fix、Fiy、Fiz为作用于质点Mi的主动力Fi在直角坐标轴上的投影。
    以上证明了虚位移原理的必要性，下面采用反证法证明其充分性，即证明如果质点系受力作用时满足式(4-3)，则质点系必定平衡。
假设质点系受力作用而不平衡，则此质点系在初始静止状态下，经过dt时间，必有某些质点由静止而发生运动，而且其微小位移应沿该质点所受合力的方向。设该质点主动力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi。当约束条件不随时间而变化时，真实发生的微小位移也应满足该质点的约束条件，是可能实现的虚位移之一，记为  ，则必有不等式

    质点系中发生运动的质点上作用力的虚功都大于零，而保持静止的质点上作用力的虚功等于零，因而全部虚功相加仍为不等式，即

    理想约束下，有 
    由于得到 
    这与式(4-3)是矛盾的。因此，在满足式（4-3）条件下，质点系必定保持平衡，这就证明了虚位移原理的充分性。
    应该指出，虚位移原理是在质点系具有理想约束的条件下建立的，但是也可以推广应用于约束中有摩擦的情形，这时只要把摩擦力也当作主动力，在虚功方程中计入摩擦力所作的虚功即可。 
虚位移原理是解决静力学平衡问题的普遍定理，所以虚功方程（4-3）或（4-4）又称为静力学普遍方程，这个方程可用来导出刚体静力学的全部平衡条件，亦可方便地用来解决一般质点系的平衡问题。在工程实际中，特别是解决一些复杂的机构或结构的平衡问题时，不必象几何静力学那样解一系列的联立方程组，而是根据具体的要求建立方程，使那些未知的但不需要求出的约束反力在方程中不出现，从而使繁冗的运算过程得到很大的简化。
二、虚位移原理的应用
    下面举例说明虚位移原理在工程实际中赣τ谩

    例4-4 如图4-8所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶（F,F'' ），其力偶矩等于2Fl，设螺杆的螺距为h，试求平衡时作用于被压榨物体上的压力。

图4-8

【解】
    以整个系统为研究对象。若忽略螺杆和螺母间的摩擦，则约束是理想的。
    作用于系统上的主动力有手柄上的力偶(F,F'' )和被压物体对压板的反力FN。给系1以虚位移，将手柄按顺时针转向转过极小角 ，于是螺杆和压板得到向下的虚位移 1计算所有主动力在这虚位移中的虚功之和，列虚功方程
(1)
    现求  和 之间的关系。对于单头螺纹，手柄AB转一周，螺杆上升或下降一个螺距，有

即  
代入式(1)，得 
因  是任意的，故 

解得 

    例4-5 图4-9为一夹紧装置的简图，设刚体内压力的压强为p，活塞直径为D，尺寸如图n示，试求作用在工件上的压力FN。

图4-9

【解】
    取整个系统为研究对象，不计摩擦及各杆自重，故此系统具有理想约束，作用于活塞上的总压力为  。如将工件给予杠杆的有用阻力FN也作为主动力，则作用于此系统上的主动力有F与FN。给活塞以向右的虚位移 ，则系统中点E、A及B的虚位移如图4-9所示，计算主动力在虚位移上的元功，得虚功方程

得 (1)
    现求  与 之间的关系，由图4-9可知，对活塞杆有

    对EA杆有 
    对杆AB有 
故得 
代入式(1)，得 

    例4-6 试求图4-5所示的压紧机构中点A与点G（或点H）的虚位移之间的关系。

图4-5

【解】
    由于结构的对称性，A点的虚位移只能沿对称线AA''方向出现，设A点的虚位移为 ，则两边杠杆就0绕支点的微小转角 ，因为杠杆为刚性杆，故其两端点的虚位移都与杠杆垂直，如图所示，显然  与 之间的关系为

    而杆AB上A、B两点虚位移在AB方向的投影相等，即

得