理论力学基础-5.1 点的运动方程

运动学

    运动学研究物体运动的几何性质。若力系不平衡，物体的机械运动状态将发生改变。在运动学中，暂不考虑力和质量等与运动变化有关的物理因素，以几何学的观点来研究物体运动的几何性质，即：运动方程、轨迹、速度和加速度等。
    运动学是动力学的基础，而且具有其独立的应用价值，运动学知识是机构运动分析的基础。例如，设计机床时，必须设计一套适当的传动系统，以便执行机构选择不同的运动速度。再如，在一些轻型、精密机构中，力的分析计算往往并不重要，主要研究机构是否能严格地按照所需的运动规律运动。
    运动是绝对的，而运动的描述是相对的。研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为参考体。与参考体所固连的坐标系称为参考坐标系，简称参考系。参考系是参考体的抽象，由于坐标轴可以向空间无限延伸，因此参考系不受参考体大小和形状的限制，而应理解为与参考体所固连的整个空间。同一个运动物体，对于不同的参考体来说，运动情况不相同。例如，汽车行驶时，相对于固结于车身的坐标系，车轮作定轴转动，相对于固结于地面的坐标系，车轮作复杂动。在一般工程问题中，常把坐标系固结在地球上。
    在运动学中，把所考察的物体抽象为点和刚体两种模型，一个物体究竟应当作为点还是作为刚体看待，主要在于所讨论的问题的性质，而不决定于物体本身的大小和形状。例如，一粒子弹，尺寸很小，若要考虑它出枪膛后的旋转，就应视其为刚体。一列火车的长度虽然以百米计，当我们将列车作为一个整体来考察它沿铁道线路运行的距离、速度和加速度时，却可以作为一个点看待。即使同一个物体，在不同的问题里，随着研究问题性质的不同，有时作为刚体，有时则作为点。例如，在研究地嫉淖宰时，可视其为刚体，而在研究它绕太阳公转的运动规律时，可看作为点。

第一节 点的运动方程

    点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化的规律称为点的运动方程。点在空间运动的路径称为轨迹。在某一参考体冀立不同的参考系，点的运动方程有不同的形式。
一、矢量法 
   设点作空间曲线运动，在某一瞬时t ，动点为M，如图5-1所示。选取参考体上某固定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对于原点O的矢径。当动点M运动迹矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即

(5-1)

    上式称为矢量形式表示的点的运动方程。
    显然，矢径r的矢端曲线就是动点的运动轨迹。

图5-1

二、直角坐标法
    过点O建立固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置也可以用它的三个直角坐标x , y , z表示，如图5-1所示。由于矢径的原点和直角坐标系的原点重合，矢径r可表为

(5-2)

    式中 i , j , k 分别为沿三根坐标轴的单位矢量。坐标x , y , z也是时间的单值连续函数，即

(5-3)

    式(5-3)n为点的直角坐标形式的运动方程，也是点的轨迹的参数方程。

三、自然法
    当动点相对于所选的参考系的轨迹已知时，可以沿此轨迹确定动点的位置。在轨迹上任取固定点O 作为原点，选定沿轨迹量取弧长的正负方向，则动n的位置可用弧坐标s 来确定。如图5-2所示。动点沿轨迹运动时，弧长s 是时间的单值连续函数

(5-4)

    上式称为点用自然法描述的运动方程。

图5-2

    以上三种形式的运动方程在使用上各有所侧重。矢量形式的运动方程常用于公式推导；直角坐标形式的运动方程常用于轨迹未知或轨迹较复杂的情况；当轨迹已知为圆或圆弧时，用自然法则较为方便。

    例5-1 椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，规尺的两端分别在互相垂直的滑槽中运动，如图5-3所示。已知：OC=AC=BC=l，MC=d ，φ=ωt，试求规尺上点A、B、C、M的运动方程和运动轨迹。

【解】分析各点的运动情况，点A、B的轨迹为直线，点M的轨迹为平面曲线，取直角坐标系，如图5-3 所示。建立它们的运动方程。
    点A的运动方程 
    点B的运动方程 
    点A、B的运动轨迹分别为长4l的铅直、水平直线段。
    点M的运动方程为 
    消去时间t，得点M的轨迹方程 
    可见，点M的轨迹是一个椭圆，长轴和x轴重合，短轴和y轴重合。
    点C的轨迹为圆，在其轨迹曲线上取O''为弧坐标原点，设定弧坐标正向如图5-3所示，点C的运动方程为
    
    点C的轨迹为半径l的圆。