理论力学基础-3.6重心

第六节 重心

    重心在工程中具有重要的意义。例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布;律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。总之，重心与物体的平衡、物体的运动以及构件的内力分布是密切相关的。本节介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。

一、重心的概念及其坐标公式
      地表面附近的物体，都受到地球引力的作用。地球对其表面附近物体的引力称为物体的重力，重力的大小称为物体的重量。重力作用在物体的每一微小部分上，为一分布力系，这些分布的重力实际组成一个空间汇交力系，力系的汇交点在地心处。可以算出，在地球表面相距30m的两点上，重力之间的夹角也不超过1" 。因此，工程上把物体各微小部分的重力视为空间平行力系是足够精确的，一般所说的重力，就是这个空间平行力系的合力。
    一个不变形的物体（即刚体）在地球表面无论如何放置，其平行分布的重力的合力作用线，都通过该物体上一个确定的点，这一点就称为物体的重心。所以，物体的重心就是物体重力合力的作用点。一个物体的重心，相对于物体本身来说就是一个确定的几何点，重心相对于物体的位置是固定不变的。
    下面根据合力矩定理建立重心的坐标公式。如图3-20所示，取直角坐标系Oxyz，其中z轴平行于物体的重力，将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力为Wi，其作用点的坐标为xi、yi、zi，设物体的重心以C表示，重心的坐标为xC、yC、zC。

 

图3-20

    物体的重力为

    应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有
(1)
    由式(1)即可求得重心的坐标xC、yC。为了求坐标zC，可将物体固结在坐标系中，随坐标系一起绕x轴旋转90°，使y轴铅垂向下。这时，重力W与Wi都平行于y轴，并与y轴同向，如图3-20中带箭头的虚线所示。然后对x轴应用合力矩定理，有
（2）
    由式(1)和(2)得到物体重心C的坐标公式为

(3-22)

    如果物体是均质的，这时，单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积，以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有 和  ，代入式(3-22)，得

(3-23)

    这说明，均质物体重心的位置与物体的重量无关，完全取决于物体的大小和形状。所以，均质物体的重心又称为形心。确切地说：由式(3-22)所确定的点称为物体的重心；由式（3-23）所确定的点称为几何形体的形心。对于均质物体，其重心和形心重合在一点上。非均质物体的重心与b心一般是不重合的。 
    如果将物体分割的份数为无限多，且每份的体积无限小，在极限情况下，式(3-23)可改写成积分形式

(3-24)

    一些简单几何形状的均质物体的重心（形心），都可由积分公式(3-24)求得。表3-2列出了几种常用物体的重心（形心），可供查用。工程中常用的型钢（如工字钢、角钢、槽钢等）的截面的形心，可从机械设计手册中查得。

名称	图形	形心坐标	线长、面积、体积
三角形		在三中线交点	面积
梯形		在上、下底边中线连线上	面积
圆弧			弧长
扇形			面积
弓形			面积
抛物线面			面积
抛物线面			面积
半球形体			面积

二、质心的概念及其坐标公式
    如图3-21所示，设质点系由n个质点组成，第i个质点Mi的质量为mi，相对于固定点O的矢径为ri，整个质点系的质量为 ，则质点系的质量中心（简称质心）C的矢径为

(3-25)

图3-21

    心反映了质点系质分布的一种特征，它是质点系中一个特定的点。当质点系中各质点的相对位置发生变化时，质点系质心的位置也随之改变。而刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，其内各质点的相对位置是固定的，因此刚体的质心是刚体内某一确定点。
    质心的概念及其运动在动力学中具有重要地位。式(3-25)的矢量式一般用于理论推导，而在实际计算质心位置时，常用直角坐标形式。如图3-21所示，取直角坐标系Oxyz，第i个质点Mi的坐标为xi、yi、zi，质心的坐标为xC、yC、zC。由式(3-25)分别向x、y、z轴投影，得

(3-26)

    式(3-26)为质点系质心的坐标计算公式。对于质量均匀分布的刚体，单位体积的质量（密度）ρ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积，以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，将 代入式(3-26)，可得式（3-23）。可见，均质刚体的质心和形心的位置是重合的。
    在地球表面附近碇亓τ胫柿砍烧比，将 代入式(3-22)，可得式（3-26），因此，在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。
应当注意，质心和重心是两个不同的概念。重心是地球对物体作用的平行引力的合力（物体重力）的作用点，它只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。

三、确定物体重心位置的方法
    前面所述的重心和形心坐标公式，是确定重心或形心位置的基本公式。在实际问题中，可视具体情况灵活应用。对于均质物体，如在几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。下面介绍几种工程中常用的确定重心位置的方法。 

1.组合法
    工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体组成的，这些简单形体的重心通常是已知的或易求的，这样整个组合形体的重心就可用式(3-23)直接求得。

2.负面积法
    如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积），仍可利用式(3-23)来求形体的重心。

3.实验法（平衡法）
    b物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。
(1)悬挂法　对于形状复杂的薄平板，确定重心位置时，可将板悬挂于任一点A，如图3-24a所示。根据二力平衡原理，板的重力与绳的张力必在同一直线上，故物体的重心一定在铅垂的挂绳延长线AB上。重复使用上法，将板挂于D点，可得DE线。显然，平板的重心即为AB与DE两线的交点C，如图3-24b所示。

图3-24

(2)称重法　对于形复杂的零件、体积庞大的物体以及由许多构件组成的机械，常用此法确定其重心的位置。例如，连杆本身具有两个相互垂直的纵向对称面，其重心必在这两个平面的交线，即连杆的中心线AB上，如图3-25所示。其重心在x轴上的位置可用下法确定：先称出连杆的重量W，然后将其一端支于固支点A，另一端支于磅秤上。使AB处于水平位置，读出磅秤上读数FNB，并量出两支点间的水平距离l，则列平衡方程为

得　 

图3-25

    例3-7 角钢截面的尺寸如图3-22所示。试求其形心的位置。

图3-22

【解】
    取Oxy坐标系如图所示。将截面分割成为两个矩形如图中虚线所示。
    第一个矩形的面积和形心C1的坐标为

    第二个矩形的面积和形心C2的坐标为
    由式(3-23)可得截面的形心坐标为

 

    例3-8 试求图3-23所示振动器用的偏心块的形心位置。已知R=100mm，r1=30mm，r2=17mm。

图3-23

【解】
    取坐标系Oxy如图3-23所示。偏心块可看作由三部分组成：半径为R的半圆A1，半径为r1的半圆A2，挖去半径为r2的圆A3。

    大半圆的面积和形心C1的坐标为

    小半圆的面积和形心C2的坐标为

    小圆的面积和形心C3的坐标为

    由式(3-23)可得偏心块的形心坐标为