理论力学基础-3.5空间力系平衡

第五节 空间力系的平衡
一、空间力系的平衡条件和平衡方程
    空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零， 即：FR''=0, MO=0。
    根据式(3-15)和(3-18)，可将上述条件写成空间力系的平衡方程为

 (3-21)

    于是，空间力系平衡的充要条件是：所有各力在空间直角坐标系中每个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每个坐标轴之矩的代数和也等于零。
式(3-21)包含六个方程式。由于它们是空间力系平衡的充要条件，当六个方程式都能满足，则刚体必处于平衡，因此如再加写更岬姆匠淌剑都是不独立的。空间力系只有六个独立的平衡方程，可求解六个未知量。 
如同平面力系的平衡方程还可以写成二矩式或三矩式一样，空间力系的平衡方程也可以写成其它形式。例如，写四个至六个力矩式而少写或不写投影式。
二、空间汇交力系崞叫辛ο怠⒘ε枷档钠胶夥匠
    由空间力系平衡方程式(3-21)经简化，可得到几种特殊力系的平衡方程。
1. 空间汇交力系的平衡方程
    由于空间汇交力系对汇交点的主矩恒为零（MO≡0），故其平衡方程为

2. 空间平行力系的平衡方程
    设z轴与力系中各力平行，则  。因此平衡方程为


3. 空间力偶系的平衡方程
   对空间力偶系，因为力偶在任意轴上的投影恒为零，即  ，因此其平衡方程为

    由以上讨论可知，空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系都只有三个独立的平衡方程，只能解三个未知量。

三、a间约束的类型

    在空间力系问题中，物体所受的约束类型，有一些与平面力系中常见的约束类型不同。表3-1列出了一些常见的空间约束类型及其简化画法和可能作用于物体上的约束力与约束力偶。

约束类型		简图	约束反力
径向轴承
螺形铰链
圆柱铰链
球形铰
推力轴承
空间固定端

四、空间力系的平衡问题
    在应用空间力系的平衡方程解题时，其方法和步骤与平面力系相似，即先确定研究对象，进行受力分析，作出受力图，然后选取适当的坐标系，列出平衡方程并解出待求的未知量。

    例3-4 空间支架由三根直杆组成，如图3-17所示。已知W=1kN，α=30°，β=60°，γ=45°，试求杆AB、BC、BD所受的力。

图3-17

【解】
（1）因各力汇交于B点，故取B铰为研究对象。设各杆均受拉力，B铰受有重力W和三杆对铰的约束反力FBA、FBC、FBD，如图3-17所示。可见此力系为空间汇交力e。
（2）建立坐标系，如图3-17所示。
（3）列平衡方程并求解
 

    计算结果表明AB、BC杆受压力分别为0.644kN、0.471kN，BD杆受拉力为1.155kN。

    例3-5 三轮推车如图3-18所示。已知AH＝BH＝0.5m，CH＝1.5m，EH＝0.3m，ED＝0.5m，所载重物的重量W＝1.5kN，作用在D点，推车的自重忽略不计。试求A、B、C三轮所受的压力。

图3-18

【解】
（1）取小车为研究对象，其受力如图13-18所示。小车受已知载荷W和未知的A、B、C三轮的约束反力FNA、FNB、FNC作用，这些力构成一空间平行力系。
（2）建立坐标系，如图3-18所示。
（3）列平衡方程式并求解

    例3-6 电动机通过联轴器传递驱动转矩M=20N·m来带动皮带轮轴，如图3-19所示。已知带轮直径d=160mm，距离a=200mm，皮带斜角α=30°,带轮两边拉力FT2=2FT1 。试求A、B两轴承的约束反力。

 

图3-19

【解】
（1）取轮轴为研究对象，并画出它的受力图，如图3-19所示。
（2）取轴线为y轴，建立坐标系。
（3）列平衡方程并求解
 
因 
得