理论力学基础-4.1虚位移与虚功的概念

    本章介绍的虚位移原理是分析静力学的理论基础，它应用功的概念建立任意质点系平衡的充要条件，是解决质点系平衡问题的最一般的原理。虚位移原理是研究静力学问题的另一途径。对于具有理想约束的物体系统，由于未知的约束反力不作功，应用虚位移原理求;常比列平衡方程更方便。例如，图4-1所示的曲柄连杆机构，当要求作用在曲柄上的主动力矩M与作用在滑块上的主动力F之间的平衡关系时，用几何静力学求解，则需要分别取出曲柄、滑块为研究对象，列出平衡方程，联立求解，得到主动力之间的平衡关系，显然是十分繁琐的。而应用虚位移原理求解系统的平衡问题时，在所列的方程中，将不出现约束反力，联立方程的数目也将减少，因而可使运算简化。

图4-1

第一节 虚位移与虚功的概念

一、虚位移
    质点系内的质点，由于受到约束，它们的运动不可能是完全自由的，例如图4-2所示曲柄连杆机构，质点A只能在半径为r的圆周上运动，滑块B只能沿滑道运动，杆AB长度不变，这样的质t系称为非自由质点系，为分析问题方便，这里把限制非自由质点系运动的条件称为约束。

图4-2

    在静止平衡问题中，质点系t各个质点都不动，我们设想在某质点约束允许的条件下，给其一个任意的、极其微小的位移。在图4-2中，可设想曲柄在平衡位置上转过任一微小角度 ，这时A点沿圆弧切线方向有相应的位移 ，点B沿导轨方向有相应的位移 ，这些位移都是约束所允许的极微小的位移。在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移或可能位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移，虚位移用符号δ表示，以区别于实位移，如 等。
    必须注意，虚位移和实位移虽然都是约束所容许的位移，但二者是有区别的。实位移是在一定的力的作用和已知的初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向。而虚位移则纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不牵涉到力的作用，与时间过程和初始条件无关，在不破坏系辉际的条件下，它具有任意性。例如一个被约束在固定面上的质点，它的实际位移只有一个，而虚位移在它的约束面上则有无限多个。 
    系统的虚位移可用对坐标做变分运算，即如果系统中某一点M的坐标（x，y，z）可以表示为某些参变数的函数，则对该坐标做变分运算，便可求得该质点的虚位移投影。除此之外，还可以用图解解析法，即直接作图来标出系统的虚位移，然后按约束条件推求各质点虚位移之间的关系，下面举例说明虚位移的求法。【例题4-1】【例题4-2】【例题4-3】

二、虚功 
   质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，力在虚位移上作功的计算与作用力在真实小位移上所作元功的计算是一样的。
    设某质点受力F作用，现给质点一虚位移δr ，如图4-6所示，则力F在虚位移上所作的虚功为

    （4-1）

    上式也可写成

（4-2）

图4-6

     应该指出，虚位移只是假想的，而不是真实发生的，因而虚功也是假想的。
    很多情况下，约束反力与约束所允许的虚位移互相垂直，约束力的虚功等于零；很多系统内部的相互约束力所作虚功之和也等于零，这种约束称为理想约束。在第一章第三节中介绍了工程中常遇到的简单的约束类型，如光滑表面，光滑铰链，刚性杆以及不可伸长的绳索等均为理想约束，其约束反力作虚功之和等于零。若以 表示质点系中某质点的虚位移，FNi表示作用在该质点上的约束反力， 表示该约束反力在虚位移中所作的虚功，则具有理想约束的质点系满足