理论力学基础-3.4空间力系简化

第四节 空间力系的简化

一、空间力的平移定理
    设有一力F，其作用点为A，在空间中任取一点B，如图3-11a所示。在B点上加上两个互成平衡的力F'' 、F" ，且取F'' =-F" =F ，如图3-11b 所示。不难看出 F、F" 组成一力偶，其力偶矩矢等于力F对B点的力矩矢 MB(F)，如图3-11c所示。可见，原作用在A点的力F，与力F'' 和力偶(F、F")等效。由此可得空间力的平移定理如下：
作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原力对于指定点的力矩矢。

图3-11

二、空间力系向一点的简化主矢和主矩

    现在研究空间力系的简化。设有一空间力系F1、F2、…、Fn，如图3-12a所示，任选一点O为简化中心，将各力平移到O点，由力的平移定理可知，各力移到O点时，都必须同时附加一个力偶，其力偶矩矢等于该力对简化中心O之矩，如图3-12b所示。于是可得到作用于O点的一个空间汇交力系F1'' 、F2'' 、…、Fn'' 和一个附加力偶系，这个力偶系中各力偶的力偶矩矢为M1、M2、…、Mn，它们分别等于MO(F1)、MO(F2)、…、MO(Fn)。

图3-12

    对于作用于O点的空间汇交力系，可以进一步将其合成为一个合力FR'' ，即

(3-14)

    称为原空间力系的主矢，如图3-12c所示。它是原力系中各力的矢量和，因此主矢FR'' 与简化中心的选取无关。由式（3-6）可得

(3-15)

    对于附加力偶系，可以进一步将其合成为一个合力偶，其合力偶矩矢MO为

(3-16)

    MO称为原力系对简化中心O的主矩，如图3-12c所示，它等于原力系中各力对简化中心O之矩的矢量和。可见主矩MO一般与简化中心的选取有关。以简化中心O为原点取坐标系，将式（3-16）向坐标轴投影，然后将式(3-12)代入，得

(3-17)

    上式表明：主矩MO在某坐标轴上的投影，等于原力系中各力对该轴之矩的代数和。于是，MO的大小和方向余弦为

(3-18)

三、空间力系的简化结果合力矩定理
    空间力系向一点简化，可能出现下列四种情况，即(1)FR''=0，MO=0；(2)FR'' =0，MO≠0；(3)FR'' ≠0，MO=0；(4)FR''≠0，MO≠0。现分别加以讨论。
1.空间力系平衡的情形
    若主矢FR'' =0，主矩MO=0，这时，该空间力系平衡。这种情形将在下节进行讨论。
2.空间力系简化为一合力偶的情形
    若主矢FR'' =0，主矩MO≠0，这时得一力偶。显然，这力偶与原力系等效，即空间力系合成为一力偶，力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。
3.空间力系简化为一合力的情形 合力矩定理
    若主矢FR'' ≠0, 而主矩MO=0，这时得一力。显然，这力与原力系等效，即空间力系合成为一合力，合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。
    若主矢FR'' ≠0，主矩MO≠0，且FR'' ⊥MO，如图3-13a所示。这时，力FR'' 和力偶（FR",FR）在同一平面内，如图3-13b所示。故可将力FR'' 和力偶（FR",FR）进一步合成，得作用于O'' 的一个力FR ，如图3-13c所示。此力与原力系等效，即为原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，即，  ，其作用线离简化中心O的距离为

图3-13

    由图3-13b可知，嗯迹‵R",FR ）的矩MO等于合力FR 对O点之矩。即
 
    又根据式(3-16)，有

    得

    (3-19)

    根据力对点之矩与力对轴之矩的关系，把上式投影到通过点O的任一轴上，可得

(3-20)

    式(3-19)和式(3-20)表明：空间力系的合力对于任一点（或轴）之矩等于各分力对同一点（或轴）之矩的矢量（或代数）和。这就是空间力系对点（或轴）之矩p合力矩定理。

4.空间力系简化为力螺旋的情形
     若主矢FR'' ≠0, 主矩MO≠0，但FR'' ∥MO，这种结果称为力螺旋，如图3-14所示。所谓力螺旋，就是由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。例如，钻孔时的钻头和攻螺丝的丝锥对工件的作用就是力螺旋。

图3-14

    力螺旋是由静力学的两个基本要素（力和力偶）组成的最简单炅ο担不能进一步合成。力偶的转向和力的指向符合右手螺旋法则的称为右螺旋，如图3-14a所示；否则称为左螺旋，如图3-14b所示。力螺旋的力作用线称为该力系的中心轴。在上述情形中，中心轴通过简化中心。
若主矢FR'' ≠0, 主矩MO≠0，且两者既不平行，又不垂辏如图3-15a所示。则可将MO分解为两个分力偶M''O 和M"O ，它们分别垂直于FR'' 和平行于FR'' ，如图3-15b所示，因M"O ⊥FR'' ，故它们可用作用于点O'' 的力FR''来代替。由于力偶矩矢是自由矢量，因此可将 M''O 平行移辏使之与 FR共线。这样便得一力螺旋，其中心轴不在简化中心O，而是通过另一点O'' ,如图3-15c所示。O、O'' 两点的距离为

    可见，一般情形下空间力系可简化为力螺旋。

图3-15

    例3-3 如图3-16所示，在边长为a=100mm的立方体上，作用着五个相等的力， 。试求此力系的简化结果。

图3-16

【解】
    选h图中坐标系的原点A为简化中心。
    力系向A点简化的主矢 FR''
 

    力系向A点简化的主矩MA
 
 

    即力系向A点简化的主矢大小为254.6N，方向与x、y、z轴正向间的夹角分别为86.33°、38.52°、51.73°。主矩大小为8.70N·m，方向与x、y、z轴正向间的夹角分别为70.32°、144.35°、61.58°。可以看出，它们既不平行又不垂直，所以，此力系简化的最终结果为力螺旋。