理论力学基础-2.7有摩擦的平衡问题

第七节 有摩擦的平衡问题

    在工程实际中，摩擦常起重要的作用，例如，我们常见的火车、汽车利用摩擦进行起动和制动，皮带轮和摩擦轮的传动，尖劈顶重等，这时，就必须考虑摩擦力的作用。
按照接触物体之间可夥⑸的相对运动分类，摩擦可分为滑动摩擦和滚动阻碍，滑动摩擦是指当两物体有相对滑动或相对滑动趋势时的摩擦；滚动阻碍是指当两物体有相对滚动或相对滚动趋势时的摩擦。摩擦机理十分复杂，已超出本书的研究范围，这里仅介绍工程中常用的摩擦近似理论。

一、滑动摩擦

    两个表面粗糙相互接触的物体，当发生相对滑动或有相对滑动趋势时，在接触面上产生阻碍相对滑动的力，这种阻力称为滑动摩擦力，简称摩擦力，一般以F 表示。在两物体开始相对滑动之前的摩擦力，称为静摩擦o；滑动之后的摩擦力，称为动摩擦力。
    由于摩擦力是阻碍两物体间相对滑动的力，因此物体所受摩擦力的方向总是与物体的相对滑动或相对滑动的趋势方向相反，它的大小则需根据主动力作用的不同来分析，可以分为三种情况，即静摩擦力Fs，最大静摩擦力Fsmax(简写为Fmax)和动摩擦力Fd

1．实验曲线
    在粗糙的水平面上放置一重为W的物块，如图2-37a所示，该物块在重力W和法向反力FN的作用下处于静止状态。今在该物块上施加一水平力FT ，如图2-37b所示，当拉力FT由零值逐渐增加但不是很大时，物体仍保持静止，可见支承面对物块的约束力除法向反力FN外，还有切向的静摩擦力Fs ，它的大小可用静力平衡方程确定，即

    可见，当水平力FT增大时，静摩擦力Fs 亦随之增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。
    静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力FT的增大而无限度地增大。当力FTp大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态，此时静摩擦力达到最大值，即为最大静摩擦力F＝Fmax，如图2-37c所示。此后，如果FT再继续增大，静摩擦力不能再随之增大，物块将失去平衡而开始滑动。这就是静摩擦力的特点。

图2-37

    在物块开始滑动时，摩擦力从Fmax突变至动摩擦力Fd (Fd 略低于Fmax)，如图2-37d所示，此后，如FT继续增加，摩擦力F基本上保持常值Fd 。若速度更高，则Fd 值下降。以上过程中FT-F关系曲线图如图2-38所示。

图2-38

    2．最大静摩擦力--静摩擦定律
根据上述实验曲线可知，当物块平衡时，静摩擦力的数值在零与最大静摩擦力Fmax之间，即

    0≤Fs ≤Fmax (2-19)

    大量实验表明：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力(即法向反力)成正比，而与接触面积的大小无关，即

    (2-20)

    式中μs称为静摩擦因数，它是无量纲数。式(2-20)称为静摩擦定律(又称库仑定律)。
    静摩擦因数μs 主要与接触物体的材料和表面状况(如粗糙度、温度、湿度和润滑情况等)有关，可由5验测定，也可在机械工程手册中查到。
    应该指出，式(2-20)只是一个近似公式，它远不能完全反映出静摩擦的复杂现象。但由于它比较简单，计算方便，并且所得结果又有足够的准确性，故在工程实际中仍被广泛应用。

3．动摩擦力
    实验表明：动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即

    (2-21)

    式中μ称为动摩擦因数，它是无量纲数。式(2-21)称为动摩擦定律。
    动摩擦力与静摩擦力不同，基本上没有变化范围。一般动摩擦因数小于静摩擦因数，即μ＜ μs 
    动摩擦因数 与接触物体的材料和表面情况有关外，还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。一般说来，动摩擦因数随相对速度的增大而减小。当相对速度不大时， μ可近似地认为是个常数，动摩擦因数μ 也可在机械工程手册中查到。

二、摩擦角与自锁现象

1．摩擦角

    当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向反力FN和摩擦力Fs ，如图2-39a所示，这两个力的合力FRA ＝ FN ＋Fs称为支承面的全约束反力，简称全反力，其作用线与接触面的公法线成一偏角φ。当达到临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值Fmax，偏角φ也达到最大值φm，如图2-39b所示。全反力与法线间夹角的最大值φm称为摩擦角。由图可得

(2-22)

    上式表明：摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见，φm与μs 都是表示材料摩擦性质的物理量。
    根据摩擦角的定义可知，全反力的作用线不可能超出摩擦角以外，即全反力必在摩擦角之内。因此与式(2-19)相对应，物块平衡时，有

0≤φ≤φm(2-23)

图2-39

2．自锁现象

    如图2-40a所示，设主动力的合力为FR ，其作用线与法线间的夹角为α，现研究α取不同值时，物块平衡的可能性。
l) α≤φm时，如图2-40b所示，在这种情况下，主动力的合力FR 和全反力FRA必能满足二力平衡条件，且φ＝α≤φm 。
2) α＞φm时，如图2-40c所示，在这种情况下，主动力的合力FR 和全反力FRA不能满足二力平衡条件，因此，物块不可能保持平衡。

图2-40

    结论 当主动力合力的作用线在摩擦角范围之内时，则无论主动力有多大，物体必定保持平衡。这种力学现象称为自锁。相反，当主动力合力的作用线在摩擦角范围之外时，则无论主动力有多小，物体必定滑动。

    工程实际中常应用自锁原理设计一些机构或夹具，使它们始终保持在平衡状态下工作，如用千斤顶举起重物、攀登电线杆用的套钩等；而有时又要设法避免自锁，如升降机等。

三、有摩擦的平衡问题
    有摩擦的平衡问题和忽略摩擦的平衡问题其解法基本上是相同的，不同的是，在进行受力分析时，应画上摩擦力，求解此类问题时，最重要的一点是判断摩擦力的方向和计算摩擦力的大纭Ｓ捎谀Σ亮τ胍话愕奈粗约束力不完全相同，因此，此类问题有如下一些特点：
l)分析物体受力时，摩擦力F的方向一般不能任意假设，要根据相关物体接触面的相对滑动趋势预先判断确定。必须记住：摩擦力的方向总是与物体的相对滑动趋势方向相反。
2)作用于物体上的力系，包括摩擦力F在内，除应满足平衡条件外，摩擦力F还必须满足摩擦的物理条件(补充方程)，即Fs ≤ Fmax，补充方程的数目与摩擦力的数目相同。
3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(0 ≤ Fs ≤ Fmax)，故有摩擦的平衡问题的解也有一定戏段В而不是一个确定的值。但为了计算方便，一般先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。
 

四、滚动阻碍的概念
    由实践知，用滚动代替滑动，可以明显地提高效率，减轻劳动强度，因而被广泛地采用。例如，搬运笨重物体时，常在物体下面垫上一排钢管，这样要比将重物直接放在地面e推动起来要省力得多。用滚动代替滑动为什么会省力？这是由于滚动阻碍与滑动摩擦的物理本质根本不同的缘故，下面用一个简单的实例来分析滚动阻碍的特性及其产生的原因。
设有一圆轮，重量为W，半径为r，放在路轨(地面)上，如将轮-轨间接触视为绝对刚性约束，则二者仅在A点接触，如图2-44所示。现在轮心施加一水平拉力FT 。

图2-44

    分析轮子的受力情况可知，在轮子与轨道接触的A点有法向反力FN 和静摩擦力Fs ，其中FN 与W 等值反向共线；Fs 阻止滚子滑动，它与FT 等值反向。不难看出，轮上的力系等效于一力偶(FT ，Fs )，即不管轮重W多大，只要施加一微小的拉力FT ，轮子都不可能保持平衡，而将在力偶(FT ，Fs )作用下发生滚动。
    然而，实际上，当拉力FT 较小时，轮子仍保持静止，只有当FT 达到一定数值时，轮子才开始滚动。产生这一矛盾的原因是，轮-轨间的接触并不是绝「招缘模它们在重力W作用下都会发生微小的接触变形，从而影响约束力的分布。因此，在这种情况下，不能将轮-轨约束看成是绝对刚性的，而必须考虑变形的影响。

    作为一种简化，仍将轮子视为绝对刚体，而将轨道视为具有接触变形的柔性体，当轮受到较小的水平拉力FT作用时，轮-轨间的约束力将不均匀地分布在一个接触面上，如图2-45a所示，该分布约束力系必汇交于C点，求得其合力FR ，如图2-45b所示，将FR分解为法向反力FN 和静摩擦力Fs，FR ＝FN ＋Fs ，此时FN 已偏离AC一微小距离δ1 ，当增加拉力FT时，δ1随之增大，将FN 、Fs向A点简化，则除FR ＝FN ＋Fs外，还有一力偶Mf，如图2-45c所示，Mf称为滚动阻力偶。
    与滑动摩擦相似，当力FT增加到某个值时，δ1达到其最大值δ，如图2-45d所示，此时，轮子处于1滚未滚的临界平衡状态，滚动阻力偶达到最大值，称为最大滚动阻力偶，用 Mmax表示。若力FT再增大一点，轮子即开始滚动。

图2-45

    由此可知，滚动阻力偶Mf的大小在零与最大值之间，即

0≤Mf≤Mmax(2-24)

    由图2-45d可得 Mmax＝δFN (2-25)
    上式表明：最大滚动阻力偶Mmax与支承面的法向反力FN的大小成正比，而与轮子半径无关。这就是滚动阻碍定律。式中δ称为滚动阻碍系数。
    容易看出，滚动阻碍系数具有长度的量纲，单位一般用mm。滚动阻碍系数与接触物体材料的硬度和湿度等有关，可由实验测定，有些也可在机械工程手册中查到，如钢质车轮在钢轨上滚动时，δ≈0.05mm，而橡胶轮胎在地面上滚动时的δ＝2～10mm。由于滚动阻碍系数较小，因此，在大多数情况下滚动阻碍是可以忽略不计的。
    下面分析滚动比滑动省力的道理。
    如图2-46a所示，欲使重W的物块滑动所需的拉力为
 
    而在图2-46b中，由平衡方程  可求得使同样重W的轮子滚动所需的拉力为
    
    一般情况下，  ，故FT2<

图2-46

    例如，半径为450mm的充气橡胶轮胎在混凝土路面上滚动时，δ≈3.15mm，μs=0.7 ，则
 
    这说明使轮子滑动的力是使轮子滚动的力的100倍。

例2-15
    物块重W=1500N，放于倾角为30°的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为μs=0.2，动摩擦因数μ=0.18 。物块受水平力F1=400N作用，如图2-41所示。问物块是否静止，并求此时摩擦力的大小与方向。

图2-41

【解】 
    本题为判断物体是否平衡的问题，求解此类问题的思路是：先假设物体静止和摩擦力的方向，应用平衡方程求解，将求得的摩擦力与最大摩擦力比较，确定物体是否静止。
取物块为研究对象，设摩擦力沿斜面向下，受力如图2-41所示。由平衡方程
     
    解得 
    F为负值，说明平衡时摩擦力方向与所设的相反，即沿斜面向上。最大摩擦力为
    
    结果表明，为保持平衡需有|F|>Fmax ，这是不可能的。说明物块不可能在斜面上静止，而是向下滑动。此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向上，大小为

 例2-16
    攀登电线杆时用的套钩如图2-42a所示，已知套钩的尺寸b、电线杆直径d、摩擦因数μs 。试求套钩不致下滑时人的重力W的作用线与电线杆中心线的距离l。

【解】
    解法一（解析法）
    以套钩为研究对象，其受力如图2-42b所示。套钩在A、B两处都有摩擦，分析套钩平衡的临界状态，两处将同时达到最大摩擦力。列平衡方程及A、B两处的补充方程
      
      
    联立求解，得套钩不致下滑的临界条件为
     
    经过判断，得套钩不致下滑时l的范围为
                  
    在此再次强调指出，在临界状态下求解有摩擦的平衡问题时，必须根据相对滑动的趋势，正确判断出摩擦力的方向，而不能像例2-15哪样假设。这是因为在解题过程中引用了补充方程 ，故Fmax与FN必须有相同的符号。法向约束反力FN的方向总是确定的，即FN恒为正值，因而Fmax也应为正值，即摩擦力Fmax的方向不能任意假定，必须按真实方向画出。
解法二（几何法）
    仍然分析套钩平衡的临界状态，现A、B两处的约束反力分别用全反力FRA、FRB表示，套钩的受力如图2-42c所示。套钩在FRA、FRB、W三力作用下处于临界平衡状态，故三力必相交于一点C，从图中几何关系可得
           
             
得     
    下面判断保持平衡时l的变化范围。根据摩擦角的概念0全反力FRA、FRB只能在各自的摩擦角范围内；同时，由三力平衡条件，力W必须通过FRA、FRB的交点。因此，人的重力W的作用点必须位于图2-42所示的三角形阴影区域内。即
              

图2-42a

图2-42b

图2-42c

例2-17
    如图2-43a所示，重为W=100N的均质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB，其大小FB=50N。A为光滑铰链，轮与杆间的静摩擦因3为μsC=0.4。轮半径为r，杆长为l，当α=60° 时，AC=CB=l/2 。当D处静摩擦因数μsD 分别为0.3和0.15时，求维持系统平衡需作用于轮心O的最小水平推力。

【解】
    本题属求极限值问题，但有两种临界平衡状态，应分别判断，根据题意展开讨论。由图2-43a可知，若推力F太大，轮将向左滚动；而推力太小，轮将向右滚动。在后者的临界平衡状态下，得到的水平推力F即为维持系统平衡的最小值。另外，此题在C、D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于即将运动的临界状态，其推力F即为最小值
    假设C处的静摩擦力达到最大值。当推力F为最小时，轮有沿水平面向右滚动的趋势，因此轮上点C相对于杆AB有向右上方滑动的趋势，作用于轮和杆的摩擦力FC'''' 和FC 如图2-43c、2-43 b所示。设D处摩擦力 尚未达到最大值，并设其方向向左，如图2-43c所示。
    取杆AB为研究对象，列出平衡方程及补充方程
      
     
    解得  
    取轮为研究对象，由平衡方程
                   
求得                
                    
    当μsD=0.3 时，D处最大静摩擦力为
    
    由于  ，可见D处无滑动，故F =26.6N为维持系统平衡的u小水平推力。
    当μsD=0.15 时，  。此时有 ，表明D处先到达临界平衡状态。为此，应假设D处静摩u力达到最大值，再进行上述讨论。
设D处静摩擦力达到最大值。当推力为最小时，杆AB与轮的受力图仍如图2-43b、2-43c所示。有补充方程
         
    而其它方程不变。可解得
     
    最小水平推力 
     
    此时C处的最大f摩擦力  ，由于  ，可见C处无滑动。因此，当μsD=0.15 时，维持系统平衡的最小推力应为F=47.81N 。
类似地，可求出维持系统平衡时，作用于轮心O的最大水平推力。请读者自行分析。