理论力学基础-3.2力对点之矩与力对轴之矩

第二节力对点之矩与力对轴之矩
一、力对点之矩
    在平面问题中，力F与矩心O 在同一平面内，用代数量MO(F)就足以概括力对O点之矩的全部要素。但在空间问题中，由于各力与矩心O所决定的平面可能不同，这牡贾赂髁κ垢仗迦仆一点转动的方位也可能不同。为了反映转动效应的方位，力对点之矩必须用矢量表示。
如图3-5所示，设力F沿作用线AB，O点为矩心，则力对一点之矩可用矢量表示，称为力矩矢，用MO(F)表示，力矩矢MO(F)的始端为O点，它的模（即大小）等于力与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所确定的平面，指向可按右手法则来确定。由图3-5可见

(3-7)
    式中， 表示三角形OAB的面积。

图3-5

由以上定义可见，力矩矢MO(F)的大小和方向与矩心O的位置有关，即力矩矢MO(F)是一个定位矢量。
力矩矢MO(F)还可以用另一种数学形式来表示。如图3-5所示，如用r 表示O点到力F作用点A的矢径，则r 与F的矢量积r ×F也是一个矢量，按矢量积的定义，其大小等于三角形OAB面积的两倍，其方位垂直于r 与F所决定的平面，指向也符合右手法则。可见，矢积r ×F与力矩矢MO(F)两者大小相等，方向相同，于是

MO(F)＝r ×F (3-8)

    即 力矩矢MO(F)等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。

二、力对轴之矩 
    在空间力系问题中，除了用力对点之矩来描述力对刚体的转动效应外，还要用到力对轴之矩的概念。这里从用手推门的实例来引入力对轴之矩的定义。
    如图3-6a所示，在门边上的A点作用一力F，为了研究力F崦湃苲轴转动的效应，可将力分解为两个分力Fz和Fxy，其中Fz与z轴平行，Fxy与z轴垂直。实践证明，分力Fz不可能使门转动，只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。
    过A点作平面P与z轴垂直，并与z轴相交于O点。分力Fxy产生使门绕z轴转动的效应，相当于在平面问题中力Fxy使平面P绕矩心O转动的效应。这个效应的强度可用力的大小Fxy与O点到力Fxy的作用线的距离d（力臂）的乘积来度量，其转向可用正负号加以区分。
于是，力F对z轴之矩MZ(F) 定义为

MZ(F) ＝±Fxyd (3-9)

    式(3-9)可叙述为：力对轴之矩是力使刚体绕某轴转动效应的度量，它是一个代数量，其大小等于力在垂直于轴的平面内的分力的大小与力臂（轴与其垂直平面的交点到分力作用线的距离）的乘积。正负号按右手法则确定：即以右手四指表示力F使刚体绕轴的转动方向，若大拇指指向与轴的正向一致，则取正号，反之取负号。也可按下述法则来确定其正负号：从轴的正向看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。如图3-6a所示的力F，它对z轴之矩MZ(F)为正值。

图3-6

    从力对轴之矩的定义容易看出：当力的作用线与轴平行（Fxy=0）或相交（d=0）时，力对该轴的矩都必为零。即，当力的作用线与轴线共面时，力对该轴之矩必然为零。图3-6b中的力F1、F2都与z轴共面，因此它们对z轴之矩都为零，这两个力/不可能使门绕z轴转动。
从图3-6c不难看出，在平面问题中所定义的力对平面内某点O之矩，实际上就是力对通过此点且与平面垂直的轴之矩。因此平面力系的合力矩定理，也可以推广到空间情形。可叙述为：若以FR表示空间力系F1、F2、…、Fn的合力，则合力FR对某轴之矩/等于各分力对同一轴之矩的代数和，即

(3-10)

    在计算力对某轴之矩时，经常应用合力矩定理，将力分解为三个方向的分力，然后分别计算各分力对这个轴之矩，求/代数和，即得力对该轴之矩。
    如图3-7所示，将力F沿坐标轴方向分解为Fx、Fy、Fz三个互相垂直的分力，以Fx、Fy、Fz分别表示F在三个坐标轴上的投影。

图3-7

    由合力矩定理得

    同理可求出My(F)和MZ(F)。因此有

(3-11)

    式(3-11)为求力对坐标轴之矩的公式。只要知道力F的作用点的坐标x、y、z和力F在三个坐标轴上的投影，则由式(3-11)即可算出Mx(F)、My(F)和MZ(F)。 
    应当指出，式(3-11)中x、y、z、Fx、Fy、Fz都是代数量，在计算力对轴之矩时，要注意各量的正负号。

三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
    下面，我们来建立力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系。
    设刚体上作用有力F,其矢径为r，它们的解析表达式分别为

    根据式(3-8)有
     
    将上式向x、y、z轴投影，并根据式(3-11)，可得

    (3-12)

    上式表明：力对某点的力矩矢在通过该点的任意轴上的投影，等于此力对该轴之矩。这就是力矩关系定理。
    求出了力F对三个坐标轴的矩之后，根据式（3-12），即可得MO(F)的大小和方向。

(3-13)

    其中α、β、γ为力矩矢与x、y、z轴正向的夹角。
    例3-2 如图3-8所示，铅直力F=500N，作用于曲柄上。试求此力对轴x、y、z之矩"对原点O之矩。

图3-8

【解】
    首先，根据力对轴之矩的定义，求出力F对x、y、z之矩
 
    由式(3-13)得 
 
    其方向余弦为
 
    可见，MO(F)位于Oxy平面内的第三象限，它与x、y轴正向间的夹角分别为
 

    本题也可先求出力在三坐标轴上的投影及力作用点A的坐标x、y、z，再代入式(3-11)求出力F对各坐标轴之矩，请自行计算。