理论力学基础-3.1空间力的分解与投影

第三章 空间力系

    空间力系是各力的作用线不在同一平面内的力系。这是力系中最一般的情形。许多工程结构和机械构件都受空间力系的作用，例如车床主轴、桅式起重机、闸门等。对它们进行静力分析时都要应用空间力系的简化和平衡理论。
    本章研究空间力系的简化和平衡问题，并介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。与研究平面力系相似，空间力系的简化与平衡问题也采用力系向一点简化的方法进行研究。

第一节 空间力的分解与投影

一、空间力的分解
    如图3-1所示，设力F 沿直角坐标轴的分力分别为Fx、Fy、Fz，则
(3-1)

图3-1

    力F的三个分力可以用它在三个相应轴上的投影来表示：
(3-2)
    则 (3-3)
    其中i、j、k分别是x、y、z轴的正向单位矢量。

二w空间力的投影
1.直接投影法
    如图3-2所示，若已知力F与空间直角坐标轴x、y、z正向之间夹角分别为α、β、γ，以Fx、Fy、Fz表示力F在x、y、z三轴上的投影，则

    (3-4)
    力在坐标轴上的投影为代数量。在式(3-4)中，当α、β、γ为锐角时，投影为正，反之为负。

图3-2

2.二次投影法
    若力F在空间的方位用图3-3所示的形式来表示， 其中γ为力F与z轴的夹角，φ为力F所在铅垂平面与x轴的夹角，则可用二次投影法计算力F在三个坐标轴上的投影。
    先将力F向z轴和xy平面投影，得

    注意：力在平面上的投影Fxy为矢量。
    再将Fxyx、y轴投影，得

    因此
(3-5)

图3-3

    反之，若已知力在直角坐标轴上的投影，则可以确定该力的大小和方向。

(3-6)
    其中α、β、γ为力F分别与x、y、z轴正向的夹角。

    例3-1 在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F，如图3-4a所示。试求该力分别在x、y、z轴上的投影。

图3-4

【解】
    方法一：直接投影法
    如图3-4b所示，由空间几何可得
 
    则力在三轴上的投影为
 

    方法二：二次投影法
    如图3-4c0示，由空间几何可得

    根据二次投影法，得