理论力学基础-2.4平面力系的简化

第四节 平面力系的简化

    对平面力系进行简化时，一般利用力系向一点简化的方法，这种方法较为简便而且具有普遍性。空间力系的简化也采用这种方法，它的理论基础是力的平移定理。

一、力的平苟ɡ

    定理 作用在刚体上某点A的力F 可平行移到任一点B，平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于力F 对平移点B之矩。 

    证明 如图2-15a所示，设原力F 作用于刚体A点，要将力F 平移至B点，在B点加上一平衡力系(F'''' ，F" )， 令F'''' =-F" =F，如图2-15b所示，则力系(F'''' ,F" ,F )与力F 等效。而(F" ,F ) 组成一个力偶，其力偶矩为 M＝Fd，如图2-15c所示，因此，力F'''' 和(F，M)等效。

 
图2-15

    这样，就把作用于点A的力F 平移到了另一点B，但同时附加了一个相应的力偶M，这个力偶称为附加力偶。显然，附加力偶矩为

    即附加力偶矩等于力F对平移点B之矩。因此定理得证。
    该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或者说一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。反过来，根据力的平移定理，可证明其逆定理也成立，即同平面内的一个力和一个力偶可合成一个力。
    力的平移定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。如图2-16a所示，力F 作用线通过球中心C时，球向前移动，如果力F 作用线偏离球中心，如图2-16b所示，根据力雌揭贫ɡ恚力F 向点C简化的结果为一个力F'''' 和一个力偶M，这个力偶使球产生转动，因此球既向前移动，又作转动。乒乓球运动员用球拍打乒乓球时，之所以能打出"旋球"，就是根据这个原理。又如攻丝时，必须用两手握扳手，而且用力要相等。如果用单手攻丝，如图2-17a所示，由于作用在扳手AB一端的力F向点C简化的结果为一个力F'''' 和一个力偶M，如图2-17b所示。这个力偶使丝锥转动，而这个力F'''' 却往往使攻丝不正，影响加工精度，而且丝锥易折断。

图2-16


图2-17

二、平面力系向一点的简化
1. 平面力系向一点的简化
    平面力系向一点简化的思想方法是应用力的平移定理，将平面力系分解成两个力系：平面汇交力系和平面力偶系，然后，再将两个力系分别合成。
    设在刚体上作用一平面力系 Fl 、F2 、… 、Fn ，如图2-18a所示。在平面内任选一点 O，称为简化中心。根据力的平移定理，将各力平移到O点，于是得到一个作用于O点的平面汇交力系Fl'''' 、F2'''' 、…、Fn'''' 和一个相应&附加力偶系M1、M2、…、Mn，如图2-18b所示，它们的力偶矩分别为：M1 = Mo(Fl )、M2 = Mo(F2 ) 、… 、Mn = Mo(Fn ) 。这样，原力系与作用于简化中心O点的平面汇交力系和附加的平面力偶系是等效的。

图2-18

    将平面汇交力系Fl'''' 、F2'''' 、…、Fn'''' 合成为作用于简化中心O点一个力FR'''' ，如图2-18c所示。则
                           
    即力矢FR'''' 等于原来各力的矢量和。
    附加力偶系M1、M2、…、Mn可合成为一个力偶，合力偶矩MO等于各附加力偶n的代数和。故
                
    即力偶的矩等于原来各力对简化中心O点之矩的代数和。

2. 主矢和主矩

    平面力系中所有各力的矢量和FR'''' 称为该力系的主矢；而各力对于任选的简化中心 O之矩的代数和MO称为该力系对于简化中心的主矩。
由主矢和主矩的定义，可得平面力系向一点简化的结果。
结论 平面力系向作用面内任选一点 O简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。

（2-11）

    必须注意，主矢等于各力的矢量和，它是由原力系中各力的大小和方向决定的，所以，它与简化中心的位置无关t而主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，简化中心选择不同时，各力对简化中心的矩也不同，所以在一般情况下主矩与简化中心的位置有关。以后在说到主矩时，必须指出是力系对哪一点的主矩。 

    过简化中心O作直角坐标系Oxy，如图2-18ct示，根据合力投影定理，有

（2-12）

    故主矢的大小和方向为

(2-13)

3. 固定端约束

    工程中，固定端是一种常见的约束，图2-19a为夹持在卡盘上的工件；图2-19b为固定在飞机机身上的机翼；图2-19c为插入地基中的电线杆。这类物体联接方式的特点是联接处刚性很大，两物体间既不能产生相对移动，也不能产生相对转动，这类实际约束均可抽象为固定端(插入端)约束，其简图如图2-19d所示。

图2-19

    固定端的约束反力可利用平面力系向一点简化的方法来分析。如图2-20所示，固a端对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束反力，在平面问题中，这些力组成一平面力系，如图2-20a所示。根据力系简化理论，将这群力向作用平面内A点简化，得到一个力和一个力偶，如图2-20b所示。这个力的大小和方向均为未知量，一般用两个未知的分力来代替。因此，在平面问题中，固定端A处的约束反力可简化为两个约束反力FAx、FAy 和一个反力偶MA，如图2-20c所示。
    与固定铰支座的约束性质相比，固定端除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在平面内转动；而固定铰支座不能限制物体在平面内转动。因此，固定铰支座的约束反力只有FAx、FAy，而固定端除了约束反力FAx、FAy外，还有一个约束反力偶MA。

图2-20

三、简化结果的分析

    平面力系向作用面内一点简化的结果，可能有下面四种情况，即① ；② ；③  ；④ 。现在对这几种简化结果作进一步的分析讨论。

１. 平面力系平/ : 
    平面力系的主矢、主矩均等于零时，原力系平衡，这种情形将在下节详细讨论。

/．平面力系简化为一个力偶 ： 
    力系的主矢等于零，主矩MO不等于零时，显然，主矩与原力系等效，即原力系可合成为合力偶，合力偶矩为  。
    因为力偶对于平面内任意一点之矩都相同，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的选择无关。

3．平面力系简化为一个合力 : 
(1)  力系的主矩MO等于零，主矢不等于零时，显然，主矢与原力系等效，即原力系可合成为一个合力，合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心O。
(2)  力系的主矢、主矩都不等于零时，如图2-21a所示，根据力的平移定理的逆定理，主矢和主矩可合成为一合力。

图2-21

    如图2-21b所示，将矩为MO的力偶用两个力FR 和FR" 表示，并令FR''''=FR=-FR"，然后去掉平衡力系(FR'''',-FR" )，则主矢和主矩合成为一个作用在点O''''的力 ，如图2-21c所示，这个力FR 就是原力系的合力，合力矢等于主矢；合力的作用线在O点的哪一侧，应根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到O点的距离d，可按下式算得

四、合力矩定理

    平面力系的合力矩定理 平面力系的合力对于作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一"之矩的代数和。

    证明 由图2-21c可见，合力FR 对O点之矩为
              
                 故 (2-14)
   式(2-14)即为平面力系的合力矩定理。
    由于简化中心 O是任意选取的，故式(2-14)具有普遍意义。

    例2-4 重力坝受力如图2-22a所示。设W1= 450kN，W2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。试求力系的合力。

图2-22a

【解】
(1)先0力系向O点简化，求主矢FR'''' 和主矩MO 由图2-22a计算主矢FR'''' 在x，y轴上的投影。

图2-22b

    主矢FR'''' 的大小 

    而  

    因FRy'''' 为负，故主矢FR'''' 在第四象限内，与x轴的夹角为70.84°，如图2-22b/示。
    力系对O点的主矩 (顺时针)

(2)求力系的合力FR 合力FR 的大小和方向与主矢FR'''' 相同；其作用线位置根据合力矩定理求得，如图2-22c所示，有

                         
解得            
    本题也可将力系向A点简化，然后再求出合力的作用线位置，请自行分析。

图2-22c