理论力学基础-2.2力对点之矩

第二节 力对点之矩

    力对刚体作用的效应有移动与转动两种。其中力的移动效应由力矢量的大小和方向来度量，而力的转动效应则由力对点之矩(简称力矩)来度量。

一、力对点之矩
    如图2-4所示，平面内作用一力F，在该平面内任取一点 O，点 O称为力矩中心，简称矩心，矩心O到力作用线的垂直距离h称为力臂，则平面力对点之矩的定义如下：

    力对点之矩是一个代数量，其大小等于力与力臂的乘积，正负号规定如下：力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。
以MO(F) 表示力F 对于点 O之矩，则：

                                   (2-7)

    式中，A△OAB 表示三角形OAB的面d。
    力矩的单位常用 N·m或 kN·m。当力的作用线通过矩心时，力臂h=0，则MO(F) =0。
    以r 表示由点O到A的矢径，则矢积r × F 的模|r × F|等于该力矩的大小，且其指向与力矩转向d合右手规则。

图2-4

二、合力矩定理
    定理 平面汇交力d的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和。

    如图2-5所示，设平面汇交力系F1 、F2 、…、Fn 有合力FR，则

     （2-8）

    证明 
    由      
    用矢径r 左乘上式两端(作矢积)，有

    由于各力与矩心O共面，因此上式中各矢积相互平行，矢量和可按代数和进行计算，而各矢量积的大小也就是力对点 O之矩，故得

    定理得证。
    必须指出，合力矩定理不仅对平面汇交力系成立，而且对于有合力的其它任何力系都成立。

图2-5

    由合力矩定理可得到力矩的解析表达式，如图2-6所示，将力F 分解为两分力Fx 和Fy ，则力F对坐标原点O之矩为

或
          (2-9)

    上式即为平面力矩的解析表达式。其中x、y为力F 作用点的坐标；Fx、Fy为力F在x、y轴上的投影，它们都是代数量，计算时必须注意各量的正负号。
    将式(2-9)代入式(2-8)，容易得到合力矩的解析表达式

图2-6

三、力矩的计算

    可用力矩的定义式(2-7)或力矩的解析表达式(2-9)计算平面力对某一点之矩，当力臂计算比较困难时，应用合力矩定理，往往可以简化力矩的计算，一般将力分解为两个适当的分力，先求出两分力对此点之矩，然后求其代数和，即得该力对点之矩。

   例2-1 如图2-7a所示，圆柱直齿轮受啮合力Fn 的作用。设Fn =1kN。压力角α=20°，齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm，试计算力Fn 对轴O的力矩。

图2-7a

【解】
    方法一 按力矩的定义计算。
    由图2-7a有     
    方法二 用合力矩定理计算。
    将力Fn 分解为圆周力（或切向力）Ft 和径向力Fr ，如图2-7b所示，则

图2-7b

    例2-2 三角形分布载荷作用在水平梁AB上，如图2-9所示。最大载荷集度为q，梁长l。试求该力系的合力。

图2-9

【解】
    先求合力的大小。在梁上距A端为x处取一微段dx，其上作用力大小为qxdx，其中qx为此处的集度。由图可知，qx=qx/l ，故分布载荷的合力为
    
    再求合力作用线位置。设合力FR 的作用线距A端的距离为h，在微段dx上的作用力对点A之矩为-(qxdx)x，全部分布载荷对点A之矩为
    
    由合力矩定理，得

    代入FR 的值，得 

    即合力大小等于三角形分布载荷的面积，合力作用线通过三角形的几何中心。

    例2-3 如图2-8a所示，曲杆上作用一力F ，已知OA＝a，OB＝b，试分别计算力F 对点O和点A之矩。

图2-8a

【解】
    应用合力矩定理，将力F 分解为Fx 和Fy ，如图2-8b所示，则力F 对O点之矩为
    
   力F 对A点之矩为
    

图2-8b