理论力学基础-2.3力偶
第三节 力 偶
一、力对点之矩
大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系，称为力偶。如图2-10所示，力F 和F''''组成一个力偶，记作( F ,F'''')。力偶中两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。
图2-10
在日常生活与生产实践中，经常见到在物体上作用力偶的情况，如用两个手指拧水龙头或转动钥匙，手指对水龙头或钥匙施加的两个力；汽车司机用双手转动驾驶盘(图2-11a)；钳工用扳手和丝锥攻螺纹时，两手作用于丝锥扳手上的两个力（图2-11b）等。在力偶中，两力等值反向且相互平行，其矢量和显然等于零，但是由于它们不共线，不满足二力平衡条件，不能相互平衡，将改变物体的转动状态。
图2-11
二、力偶矩
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩以M( F ,F'''')表示，一般简记为M，如图2-12所示，设力偶( F ,F'''') 的力偶臂为d，则
式中， A△ABC表示三角形ABC的面积。
图2-12
力偶矩的单位与力矩的单位相同，也是N·m或 kN·m。
力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。如图2-12所示，在力偶作用面内任取一点O（矩心），则力偶对点 O之矩等于其两力对点O之矩的代数和，即
由于矩心 O是任意选取的，因此，力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
力偶对物体的转动效应，可用力偶矩来度量。因此，平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定：
①力偶矩的大小；
②力偶在作用平面内的转向。
三、平面力偶的等效定理
定理 在同一平面内，力偶矩相等的两力偶等效。
证明
如图2-13所示，设在同一平面内有两个力偶（F0 ,F0''''）和（F,F''''） 作用，它们的力偶矩相等，且力的作用线分别交于点 A和 B，现在证明这两个力偶是等效的。
首先将力F0和 分别沿它们的作用线移到点A和 B；然后分别沿连线AB和力偶（F,F''''） 的两力的作用线方向分解，得到（F1 ,F1''''） 和（F2 ,F2''''）四个力，显然，这四个力与原力偶（F0 ,F0''''） 等效；由于两个力平行四边形全等，于是力F1 与F1'''' 大小相等，方向相反，且在同一直线上，符合二力平衡条件，是一对平b力，可以除去。剩下的两个力F2 与F2'''' 大小相等，方向相反，组成一个新力偶（F2 ,F2''''） ，并与原力偶（F0 ,F0''''） 等效。下面证明F2 =F,F2'''' = F''''。
连接 CB和DB。计算力偶矩，有
因为CD平行AB，△ACB和△ADB同底等高，面积相等，于是得
即力偶（F0 ,F0''''）与（F2 ,F2''''） 等效时n它们的力偶矩相等。由假设知
因此有
从图上可知，力偶（F2 ,F2''''） 和（F,F''''） 有相等的力偶臂 d和相同的转向，于是得
可见力偶（F2 ,F2''''） 和（F,F''''）完全相等。又因为力偶（F2 ,F2''''） 与（F0 ,F0''''） 等效，所以力偶（F,F''''） 和（F0 ,F0''''） 等效。于是定理得到证明。
图2-13
四、力n的性质
根据力偶的定义和力偶的等效定理，可得力偶的性质如下：
性质1 力偶无合力
由力偶的定义可知，力偶中的两个力在任何轴上的投影之和恒等于零，说明其主矢量FR=0n假设力偶有合力，则FR ≠0，这与力偶的定义相矛盾，故假设不成立，即力偶无合力。
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换；力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是两个非零的最简单力系，它们是静力学的两个基本要素。在下一章中，将介绍另一种非零的最简单力系--力螺旋。
性质2 力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
性质3 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移动和转动，并可任意改变力的大小和力偶臂某ざ蹋而不改变它对刚体的作用效应。
因此，力的大小和力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用效应的唯一量度，所以，以后常用图2-14所示的符号表示力偶。
图2-14
由力偶的性质可得如下结论：
平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
（2-10）