理论力学基础-2.1力在轴上的投影与力的分解

 第二章  平面力系

    平面力系是工程中最常见的一种力系。当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它看作该对称平面内的平面力系问题。如作用在屋架、汽车、皮带轮、圆柱直齿轮等物=上的力系都可以视为平面力系。
本章介绍平面力系的简化和平衡问题，包括有摩擦的平衡问题。

第一节 力在轴上的投影与力的分解

一、力在直角坐标轴上的投影
    力是矢量，因此，力的投影就是矢量的投影，即力在某轴上的投影，等于该力的大小乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。力在轴上的投影为代数量，当力与投影轴间夹角为锐角时，其值为正；当夹角为钝角时，其值为负。
    如图2-1所示，已知力F 与直角坐标轴x、y的夹角为α、β，则力F　在x、y轴上的投影分别为

                                  （2-1）

图2-1

    相反，如果已知力F 在直角坐标轴上的投影Fx 和Fy ，则可确定该力的大小和方向余弦

              （2-2）

其中 i、j 分别为沿坐标轴x、y正向的单位矢量。

二、力沿坐标轴分解
    力沿坐标轴分解时，分力由力的平行四边形法则确定，如图2-1所示，力F沿直角坐标轴 Ox、 Oy可分解为两个分力Fx 和Fy ，其分力与力的投影之间有下关系

因此，力的解析表达式可写为

       （2-3）

    必须注意，力的投影与力的分解是两个不同的概念，两者不可混淆。力在坐标轴=的投影Fx 和Fy 为代数量，而力沿坐标轴的分量Fx 和Fy 为矢量。当 Ox、Oy两轴不相垂直时，分力Fx 、Fy 和力在轴上的投影Fx 和Fy 在数值上也不相等，如图2-2所示。

图2-2

三、合力投影定理
    设由n个力组成的平面汇交力系，其汇交点为O，如图2-3a所示。连续应用力的平行四边形法则或力w边形法则，容易得到此汇交力系的合力FR ，如图2-3b所示，有

简写为 （2-4）

    上式表明：平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，合力矢等于各分力的矢量和。

图2-3

    根据合矢量投影定理--合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和，e式（2-4）向 x、y轴投影，可得

            (2-5)

    上式表明：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。式中F1x 、F2x 、……、Fnx 和F1y 、F2y、……、Fny 分别为各分力在x和y轴上的投影。
计算出合力的投影后，可由式（2-2）求得合力的大小和方向余弦

              (2-6)