圆柱螺旋压缩（拉伸）弹簧的设计计算

(一)几何参数计算

　　普通圆柱螺旋弹簧的主要几何尺寸有：外径D、中径D2、内径D1、节距p、螺旋升角α及弹 簧丝直径d。由下图圆柱螺旋弹簧的几何尺寸参数图可知，它们的关系为：

　　式中弹簧的螺旋升角α，对圆柱螺旋压缩弹簧一般应在5°～9°范围内选取。弹簧的旋向可以是右旋或左旋，但无特殊要求时，一般都用右旋。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　

圆柱螺旋弹簧的几何尺寸参数

　　普通圆柱螺旋压缩及拉伸弹簧的结构尺〖扑愎式见表(普通圆柱螺旋压缩及拉伸弹簧的结构尺寸（mm）计算公式)。

普通圆柱螺旋压缩及拉伸弹簧的结构尺寸（mm）计算公式

参数名称及代号	计算公式		备注
	压缩弹簧	拉伸弹簧
中 径D2	D2=Cd		按普通圆柱螺旋弹簧尺寸系列表取标准值
内 径D1	D1=D2-d
外 径D	D=D2+d
旋绕比C	C=D2/d
压缩弹簧长细比b	b=H0/D2		b在1～5.3的范围内选取
自由高度或长度H0	H0≈pn+(1.5～2)d （两端并紧，磨平） H0≈pn+(3～3.5)d （两端并紧，不磨平）	H0=nd+钩环轴向长度
工作高度或长度 H1,H2,…,Hn	Hn=H0-λn	Hn=H0+λn	λn--工作变形量
有效圈数n	根据要求变形量按式（16-11）计算		n≥2
总圈数n1	n1=n+(2～2.5)（冷卷） n1=n+(1.5～2) （YII型热卷）	n1=n	拉伸弹簧n1尾数为1/4,1/2,3/4整圈。推荐用1/2圈
节 距p	p=(0.28～0.5)D2	p=d
轴向间距δ	δ=p-d
展开长度L	L=πD2n1/cosα	L≈πD2n+钩环展开长度
螺旋角α	α=arctg(p/πD2)		对压缩螺旋弹簧，推荐 α=5°～9°

(二)特性曲线

弹簧应具有经久不变的弹性，且不允许产生永久变形。因此在设计弹簧时，务必使其工作应力在弹性极限范围内。在这个范围内工作的压缩弹 簧，当承受轴向载荷P时，弹簧将产生相=的弹性变 形，如右图a所示。为了表示弹簧的载荷与变形的关系，取纵坐标表示弹簧承受的载荷，横坐标表示弹簧的变形，通常载荷和变形成直线关系(右图b)。 这种表示载荷与变形的关系的曲线称为弹簧的特性曲线。对拉伸弹簧，如图<圆柱螺旋拉伸弹簧的特性曲线> 所示，图b为=预应力的拉伸弹簧的特性曲线；图c为有预应力的拉伸弹簧的特性曲线。 　　右图a中的H0是压缩弹簧在没有承受外力时的自由长度。弹簧在安装时，通常预加一个压力 Fmin，使它可靠地稳定在安装位置上。Fmin称为弹簧的最小载荷(安装载荷)。在它的作用下，弹簧=长度 被压缩到H1其压缩变形量为λmin。Fmax为弹簧承受的最大工作载荷。在Fmax作用下，弹簧长度减到H2， 其压缩变形量增到λmax。λmax与λmin的差即为弹簧的 工作行程h,h=λmax-λmin。 Flim为弹簧的极限载荷。在该力的作用下，弹簧丝内的应力达到了材料的弹性极限。与Flim对应的弹簧长度为H3，压缩变形量为λlim。

谥螺旋压缩弹簧的特性曲线

等节距的圆柱螺旋压缩弹簧的特性曲线为一直线，亦即　　　　　　　　　　　　　　　　 　　压缩弹簧的最小工作载荷通常取为 Fmin=(0.1～0.5)Fmax；但对有预应力的拉伸弹簧(图<圆柱螺旋拉伸弹簧的特性曲线>)， Fmin>F0，F0为使只有预应力的拉伸弹簧开始变形时所需的初拉力。弹簧的最大工作载荷Fmax，由弹簧在机构中的工作条件决定。但不应到达它的极限载荷，通常应保持Fmax≤0.8Flim。 　　弹簧的特性曲线应绘在弹簧工作图中，作为检验和试验时的据之一。此外，在设计弹簧时，利用特性曲线分析受载与变形的关系也较方便。

圆柱螺旋拉伸弹簧的特性曲线

(三) 圆柱螺旋压缩(拉伸)弹簧受载时的应力及变形

　　圆柱螺旋弹簧受压或受拉时，弹簧丝的受力情况是完全一样的。现就下图<圆柱螺旋压缩弹簧的受力及应力分析>所示的圆形截面弹簧丝的压缩弹簧承受轴向载荷P的情况进行分析。

　　由图<圆柱螺旋压缩弹簧的受力及应力分析a>(图中弹簧下部断去，末示出)可知，由于弹簧丝具有升角α，故在通过弹簧轴线 的截面上，弹簧丝的截面A-A呈椭圆形，该截面上作用着力F及扭矩。因而在弹簧 丝的法向截面B-B上则作用有横向力Fcosα、轴向力Fsinα、弯矩M=Tsinα及扭矩Tˊ= Tcosα。 由于弹簧的螺旋升角一般取为α=5°～9°，故sinα≈0；cosα≈1(下图<圆柱螺旋压缩弹簧的受力及应力分析b>)，则截面B-B上的应力(下图<圆柱螺旋压缩弹簧的受力及应力分析c>)可近似地取为

　　　　　　　　　

　　式中C=D2/d 称为旋绕比(或弹簧指数)。为了使弹簧本身较为稳定，不致颤动和过软，C值不能太大；但为避免卷绕时弹簧丝受到强烈弯曲，C值又不应太小。C值的范围为4～16(表<常用旋绕比C值>), 常用值为5～8。

圆柱螺旋压缩弹簧的受力及应力分析

常用旋绕比C值

d(mm)	0.2～0.4	0.45～1	1.1～2.2	2.5～6	7～16	18～42
C=D2/d	7～14	5～12	5～10	4～9	4～8	4～6

　　为了简化计算，通常在上式中取1+2C≈2C(因为当C=4～16时，2C>>l，实质上即为略去了 τp)，由于弹簧丝升角和曲率的影响，弹簧丝截面中的应力分布将如图<圆柱螺旋压缩弹簧的受力及应力分析>c中的粗实线所示。由图可知，最大应力产生在弹簧丝截面内侧的m点。实践证明，弹簧ㄆ苹狄泊蠖嘤烧獾憧始。为了考虑弹簧丝的升角和曲率对弹簧丝中应力的影响，现引进一个补偿系数K(或称曲度系数)，则弹簧丝内侧的最大应力及强度条件可表示为

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　式中补偿系数K，对于圆截面弹簧丝可按下式计算：

　　　　　　　　　　　　

　　/柱螺旋压缩(拉伸)弹簧受载后的轴向变形量λ可根据材料力学关于圆柱螺旋弹簧变形量的公式求得:　　　　　　

　　式中：n—弹簧的有效圈数；
　　　　　G—弹簧材料的切变模量，见前一节表<弹簧常用材料及其许用应力>。如以Pmax代替P则
　　　　　　 最大轴向变形量为：

　　　　1) 对于压缩弹簧和无预应力的拉伸弹簧： 　　　　伞　　

　　　　2）对于有预应力的拉伸弹簧： 　　　　　　　　　

　　拉伸弹簧的初拉力(或初应力)取决于材料、弹簧丝直径、弹簧旋绕比和加工方法。

　　用不需淬火傻簧钢丝制成的拉伸弹簧，均有一定的初拉力。如不需要初拉力时，各圈间应 有间隙。经淬火的弹簧，没有初拉力。当选取初拉力时，推荐初应力τ0'值在下图的阴影区内选取。

初拉力按下式计算： 　　　　　　　　 　　使弹簧产生单位变形所需的载荷kp称为弹簧刚度，即

弹簧初应力的选择范围

　　弹簧刚度是表征弹簧性能的主要参数之一。它表示使弹簧产生单位变形时所需的力，刚度愈大，需要的力愈大，则弹簧的弹力就愈大。但影响弹簧刚度的因素很多，由于kp与C的三次方成反比，即C值对kp的影响很大。所以，合理地选择C值 能控制弹簧的弹力。 另外，kp还和G、d、n有关。在调整弹簧刚度时，应综合考虑这些因素的影响。

（四) 承受静载荷的圆柱螺旋压缩(拉伸)弹簧的设计

　　弹簧的静载荷是指载荷不随时间变化，或虽有变化但变化平稳，且总的重复次数不超过次的交变载荷或脉动载荷而言。在这些情况下，弹簧是按静载强度来设计的。

　　在设计时，通常是根据弹簧的最大载荷、最大变形、以及结构要求(例如安装空间对弹簧尺寸的限制)等来决定弹簧丝直径、弹簧中径、工作圈数、弹簧的螺旋升角和长度等。

　　具体设计方法和步骤如下:

　1) 根据工作情况及具体条件选定材料，并查取其机械性能数据。

　2) 选择旋绕比C，通常可取C≈5～8(极限状态时不小于4或超过16)，并算出补偿系数 K值。

　3) 删莅沧翱占涑跎璧簧中径D2，乃根据C值估取弹簧丝直径d，并查取弹簧丝的许用应力。

　4) 试算弹簧丝直径d ' 　　　　　　　　　　

　　必须注意，钢丝的许用应力决定于其σB，而σB是随着钢丝的直径变化的,又因[τ]是按估取的d值查得σB的H计算得来的，所以此时试算所得的d '值，必须与原来估取的d值相比较，如果两者相等或很接近，即可按标准圆整为邻近的标准弹簧钢丝直径d，并按D2=Cd 以求出 ；如果两者相差较大，则应参考计算结果重估d值，再查其而计算[τ]，代入上式进行试算，直至满意后才能计算D2.计算出的D2，值也要按表<普通圆柱螺旋弹簧尺寸系列>进行圆整。

　5) 根据变形条件求出弹簧工作圈数：

　对于有预应力的拉伸弹簧　　　　　　　　

　对于压缩弹簧或无预应力的拉伸弹簧　　　

　6) 求出弹簧的尺寸D、D1、H0,并检查其是否符合安装要求等。如不符合，则s改选有关参数(例如C值)重新设计。

　7) 验算稳定性。对于压缩弹簧，如其长度较大时，则受力后容易失去稳定性(如下图a)，这在工作中是不允许的。为了便于制造及避免失稳现象，建议一般压缩弹簧的长细比b=H0/D2按下列情况选取：

　当两端固定时，取b<5.3；

　当一端固定，另一端自由转动时，取b<3.7；

　当两端自由转动时，取b<2.6。

压缩弹簧失稳及对策

　当b大于上述数值时，要进行稳定性验算，并应满足

　　　　　　　　　Fc=CukpH0>Fmax　　　　　　

　式中：Fc——稳定时的临界载荷；

　　　　Cu——不稳定系数，从下图<不稳定系数线图>中查得；

　　　　Fmax——弹簧的最大工作载荷。

　　如 Fmax>Fc时，要重新选取参数，改变b值，提高Fc值，使其大于Fmax值，以保证弹簧的稳定性。如条件受到限制而不能改变参数时，则应加装导杆(如上图b)或导套(如上图c)。导杆(导套)与弹簧间的间隙c值(直径差)按下表(导杆（导套）与弹簧间的间隙表)的规定选取。

不稳定系数线图

导杆（导套）与弹簧间的间隙

中径D2/(mm)	≤5	>5～10	>10～18	>18～30	>30～50	>50～80	>80～120	>120～150
间隙c/(mm)	0.6	1	2	3	4	5	6	7

　8) 进行弹簧的结构设计。如对拉伸弹簧确定其钩环类型等，并按表<普通圆柱螺旋压缩及拉伸弹簧的结构尺寸（mm）计算公式>计算出全部有关尺寸。

　9) 绘制弹簧工作图。

例题 设计一普通圆柱螺旋/伸弹簧。已知该弹簧在-定载荷条件下工作，并要求中径D2≈18mm，外径D≤22mm。当弹簧拉伸变形量λ1=7.5mm时，拉力P1=180N，拉伸变形量λ2=17mm时，拉力P2=340N。

[解]

1．根据工作条件选择材料并确定其许用应力

　　因弹/在一般载荷条件下工作，可以按第Ⅲ类弹簧考虑。现选用Ⅲ组碳素弹簧钢丝。并根据 D-D2≤22-18 mm=4 mm，估取弹簧钢丝直径为3.0mm。由表<弹簧钢丝的拉伸强度极限>暂选σB=1275MPa，则根据表16-2可知[τ]＝0.5σB＝0.5×1275 MPa＝637.5 MPa。

2．根据强度条件计算弹簧钢丝直径

　　现选取旋绕比C=6，则得

　　　　　　　

　　于是有

　　　　　　　

　　改取d＝3.2mm。查得σB=1177MPa，[τ]＝0.5σB＝588.5MPa,取D2=18,C=18/3.2=5.625,计算得 K=1.253，于是

　　　　　　　

　　上值与原估取值相近,取弹簧钢丝标准直径d＝3.2mm(与计算值3.22mm仅差0.6％,可用)。此时D2＝18mm,为标准值,则

　　　　　　　D=D2+d=18+3.2 mm ＝21.2 mm<22 mm

　　所得尺寸与题中的限制条件相符，合适。

3．根据刚度条件，计算弹簧<数n.

　　弹簧刚度为

　　　　　　

　　由表<弹簧常用材料及其许用应力>取G=79000MPa,弹簧圈数n为

　　　　　　

　　取n＝11圈； 此时弹簧刚度为

　　　　　kp=10.56×16.8/11 N/mm =16.12 N/mm

4．验算

　　1） 弹簧初拉力

　　　　　P0=P1-kPλ1=180-16.12×7.5 N=59.1 N

　　　　初应力τ0'，得

　　　　　　

　　　　当C＝5.62时，可查得初应力τ0'的推茬值为65～150MPa，故此初应力值合适。

　　2）极限工作应力τlim取τlim=1.12[τ]，则

　　　　　τlim=1.12×588.5 MPa=659.1 MPa

　　3）极限工作载荷

　　　　　　

5.进行结构设计

　　选定两端钩环，并计算出全部尺寸(从略)。

6．绘制工作图(从略)。

(五) 承受变载荷的圆柱螺旋压缩(拉伸)弹簧的设计

　 对于承受变载荷的弹簧，除应按最大载荷及变形仿前进行设计外，还应视具体情况进行如下 的强度验算及振动验算:

1．强度验算

　　承受变载荷的弹簧一般应进行疲劳强度的验算，但如果变载荷的作用次数N≤，或载荷变化的幅度不大时，通常只进行静强度验算。如果上述这两种情况不能明确区别时,则需同时进行两>强度的验算。

　　1）疲劳强度验算

　　下图所示为弹簧在变载荷作用下的应力变化状态。图中H0为弹 簧的自由长度，P1和λ1为安装载荷和预压变形量，P2和λ2为工作时的最大载荷和最大变形量。当弹簧所受载荷在P1和P2之间不断循环变化时，则可得弹>材料内部所产生的最大和最小循环切应力为:

　　　　　　　MPa 　　　MPa

弹簧在变载荷作用下的应力变化状态

　　对应于上述变应力作用下的普通圆柱螺旋压缩弹簧，应力循环次数N>时，疲劳强度安全系数计算值Sca及强度条件可按下式计算：

　　　　　　　　　　

　　式中：τ0——弹簧材料的脉动循环剪切疲劳极限，按变载荷作用次数N，由下表(弹簧材料的脉
　　　　　　　　 动循环剪切疲劳极限表)中查取；

　　　　　SF——弹簧疲劳强度的设计安全系数，当弹簧的设计计算和材料的机械性能数据精确
　　　　　　　　　性高时，取SF=1.3～1.7；当精确性低时，取SF=1.8～2.2。

弹簧材料的脉动循环剪切疲劳极限

变载荷作用次数N
τ0	0.45σB	0.35σB	0.33σB	0.3σB

　　　　　注：1）此表适用于高优质钢丝，不锈钢丝，铍青铜和硅青铜丝；
　　　　　　　2）对喷丸处理的弹簧，表中数值可提高20％；
　　　　　　　3）对于硅青铜，不锈钢丝，N＝时的τ0值可取0.35σB；
　　　　　　　4）表中σB为弹簧材料的拉伸强度极限，MPa。

　　2) 静强度验算

　　静强度安全系数计算值SSca的计算公式及强度条件为

　　式中τS为弹簧材料的剪切屈服极限,静强度的安全系数SS的选取与进行疲劳强度验算时相同。

2．振动验算

　　承受变载荷的圆柱螺旋弹簧常是在加载频率很高的情况下工作(如内燃机汽缸阀门弹簧)。为了避免引起弹簧的谐振而导致弹簧的破坏，需对弹簧进行振动验算，以保证其临界工作频率(即工作频率的许用值)远低于其基本自振频率。

　　圆柱螺旋弹簧的基本自振频率(本书已将原书公式中的弹簧质量W/s以mS代替)为

　　　　　　　　Hz

　　式中：kp--弹簧的刚度，N/mm；

　　　　mS--弹簧的质量，kg。

　　将kp,ms的关系式代入上式，并取n≈n1则

　　　　　　　　Hz

　　式中各符号意义同前，见表<普通圆柱螺旋压缩及拉伸弹簧的结构尺寸（mm）计算公式>。

　　弹簧的基本自振频率fb应不低于其工作频率fw的15～20倍，以避免引起严重的振动。即

　　　　　　fb≥(15～20)fw 或 fw≤fb/(15～20) Hz

/　但弹簧的工作频率一般是预先给定的，故当弹簧的基本自振频率不能满足上式时，应增大kp或减小ms，重新进行设计。