带式输送机设计－5. 链条啮合驱动的运动学与动力学
第五章 链条啮合驱动的运动学与动力学
刮板输送机中，驱动链轮通过轮齿与链条上链节的啮合，将圆周力传递给链条，形成牵引力。虽然驱动链轮是匀速转动，由于链轮是多边形体，上面各处的半径是周期性金．因此链轮周边上各点的圆周速度是不相同的。献虐刖兜闹芷谛员浠，各点的圆周速度的大小也是周期性变化。半径大处圆周速度大，半径小处圆周速度小。与链轮啮合的链在啮合传动中，也周期性的远离或靠近链轮中心，链条的牵引速度也将周期性变化。速度的变化引起加速度，从而在链条中产生动载荷。
输送机起动和制动时，链条的加速和减速运动也引起动载荷。
验算链条的强度时，陈在计算链条中的最大张力外，还应计入动载荷。因启动和制动所引起的动力不大，因此在计算动力载菏时，可将其略去，只考虑运转时链条运动速度周期变化而引起的动力载荷。
一、链条的运动学
如图2—l4所示，驱动链轮有Z个齿，链条的节距为l0，则链轮的最大半径Rmax可表示为
链轮的最小半径为
从上述两式可得到
驱动链轮作等速转动时，与其啮合的链条作不等速的平移运动。链速变化是由于链轮瞬时回转半径的不同，即从最大回转半径Rmax到最小回转半径Rmin周期性变化，也引起链周期性变化。
图2-14
如图2—l4所示，当链轮转过θ角时，其回转半径及链条瞬时速度为
式中v——链速，m/s;
——驱动链轮的角数度，rad/s;
——驱动链轮转角（ 
t）,rad;
t——时间，s;
n——正整数（1，2，……。表示转过多形链轮的边数）。
将式上式对时间求导数，得到链子平移时加速度为
（2-19）
图2—15表示了n=1时链条平移速度和加速度随链轮不断转动的变化曲线。从式(2—18)和式(2—19)也可以看出，速度和加速度随时间呈周期性变化。
假设链条移动的平均速度为υ0，则链轮转动一个节距的时间按移动的直线计算为 
，按转过一个节距对应的中心角 
计算为 
，于是有
(2—20)
将此值代入式(2—l8)及式(2—19)中，并考虑到 
，当t=0,则 
时得到链条的最大移动瞬时速度 
和绝对值最小的瞬时加速度 
。
(2-21)
(2-22)
当链轮转过时间 
，链轮的转l 
时，得到链条移动的最小瞬时速度 
和绝对值最大的瞬时加速度 
，并考虑到
(2-23)
(2-24)
当 
，多边形链轮第二个边开始与链条啮2时，即n=2，链条速度不变，但加速度突然变为
(2-25)
即链轮瞬时回转半径从最大转到最小时，链条作减速运动，速度由最大变为最小，加速度从零变到负最大值；链轮继续转动，从最小回转半径向最大回转半径变化，链条突然加速，加速度变为正最大值，链条移动速e开始增加。当链轮又转到瞬时回转半径为最大时，链轮加速运动停止，加速度为零，速度达到最大值。
图2-15
从上述分析可以看出e由于链轮是多边形，在与链条啮合传动中，其瞬时回转半径是变化的。当链轮作匀速转动时，链条的移动速度从最大值到最小值重复性地变化，在一个周期内一半时间加速度为正值，作加速运动；另半周期内作减速运动，其
加速度为负值。链轮转过瞬时最小回转半径e，链条从最大的减加速运动突然变为最大的加速运动。
二、链条上的动载荷
1)将链条视为一条刚性的长杆，研究其作变速运动时，链条本身产生的动荷载。从链条运动学分析的结果来看，链条运动中产生的动荷载来自两个方面：一方面是链条作e速运动时产生的惯性力；另一方面为链轮转过瞬时最小回转半径时，最大的加速度值是由减加速运动变为加速运动，对链条产生冲击动荷载。所以，总的动荷载应为两者的代数和。
首先讨论链条的惯性力。由图2—16可知，如在驱动轮上链条的绕入股与绕出e条件相同时，两股链上66速度，加速度大小相等，方向相反。因此，偶性力在绕入股与绕出股上的作用是不相同的，当绕入股的加速度为正值时，速度逐渐加大，运动加快，链条受附加拉伸，此时链条上的惯性力与加速度方向相反。因此惯性力使绕入股链条内的张力增加。与此同时，链条e出股受链轮驱动作加速运动，绕出股的链条受到附加压缩，使链条移动速度减慢。因此惯性力使绕出股链条内的张力减小(注意：绕出股B3点的张力最小，沿链条运动方向向前张力逐渐增加)。
图2-16
当链轮从Al点转到A2点时，按同样原理分析，惯性力使绕入股张力降低，使绕出股张力增加。因此，链条由于克服惯性力，在其内产生的附加张力，在绕入股和绕出股上数值相等，以符"相反来表示对链条内总张力的作用不同，即
式中 
, 
——由惯性力c链条的绕入股和绕出股内引起的附加张力，N；
G——整个刮板链及被移动物料的折算质量，即产生惯性力的质量，kg；
——产生惯性力的加速度， 
。
整个产生惯性力的可移动部分的折算质量可按下式计算：
。
式中q——重载段单位长度上的荷载，N／m；
——空载段单位长度的荷载，N／m；
——重载/长度，m
——空载段长度，m。
重载段单位长度的荷载可按下式计算：
式中 
——考虑物料参与链条不均匀运动程度的系数(对于刮板输送机，可取C1＝0.3--0.5)。
产生惯性力的加速度，可以认为仅在某时间内近似地等于A点及B点的加速度。因为链条的速度在 
到 
之间变化，特别是突然增大时，链条就象硬弹簧一样，处于纵向振动状态。当振动频率很高时，链条上各点加速度相差很大，应该把加速度α′理解为某一平均值，此值可能与A点、B点的加速度不同。以后，振动很快又消失。因此，在加速度突然重新增高之i的时间内，可近似认为
此时
设链条上A点的张力为 
，B点上的张力为 
。则可直接得出在加速度突然提高之前A点的总张力为
B点的总张力为 
在链条刚进入啮合时，链轮瞬时回转半径最小，链条趋入点此时加速度由 
突然增加到 
，其总量增加为 
。又考虑到加速的突然增加而造成纵向振动的影响，总加速度应取
式中k——动力系数，如果认为加速度的突然增加能够迅速传到整个链条，取k＝2。
按照加速度突然提高引起的附加张力在链轮趋入b及奔离点大小相等，方向相反计算，其值为
这时,作用在链条上A点的总张力最大为
在A点为正，B点为负"总动力载荷，其最大值相等为 
2)链条实际是具有弹性的，不能视为绝对刚性的长杆，张力沿链条传递时，不能很快传遍整个链条。而且，随着输送机长度增加，这种可能性就愈大。实际上动力载荷的传递，是在某一段时间内，以弹性波的速度传播的。试验测定，弯片式链条和可拆模锻链条弹性波的传播速度分别为600-700m/s和800一1000m／s。
根据上述公式计算的动载荷和总张力只适用于较斓氖渌突，对于长距离运输的输送机以及链条内张力又很大时．如果随着链条张力的变化所引起的自由振动和强迫振动达到共振状态的话，上述计算有较大的误差。因而，对长距离的刮板输送机有必要探求较为精确计算方法。
由于链条的刚度和质量是均匀分布的，在工作过程中链条上存在有预加静拉力，因此链子可视为弹性杆。它在驱动链轮的一端借助电动机的能量，通过驱动链轮使其周期性地改变移动速度。在此激励下，作为弹性杆的链条产生纵向强迫振动。由于弹性波在重载段和空载段传播速不同，整个系统要用两个波动方程表示
式中 
——空载段和重载段面的弹性位移；
x——断面的坐标；
t——时间；
——链条上的加速度；
g——重力加速度；
f——平均运动阻力系数；
b1,b2——链条重载段和和空载段中他弹性波的传速度。
为了解此波动方程组，需要应用边界条件，即要确定该弹性杆端的位移和速度。通过链条在趋入点和奔离点，弹性波的反射理论和试验的研究，在此基础上提出了刮板链振动方程的边界条件。
由于链条趋入点在链条振动过程中不应松弛，即张力不应降到零。因此，可以认为此弹性杆的两端相当于固定的，则边界条件为
当 
时，链条内的弹性波在经过张紧链轮时，将分成前进波和反射波两部分。因此，在该处应引入接触条件。
研究表明：此弹性波由重载段反射时，反射波的符号与入射波的相同，反之由空载段反射时，反射波的符号与入射波的相反。入射波与前进波的符号永远相同。此时边界条件为
接触条件使求解大为复杂。可以证明在引入一个弹性波在重载段和空载段中传播的平均速度后，将两个段的波动方程合成一个，其计算结果可以满足实际工程的精确度。平均速度为
在应用上述公式计算时，其数值应减小1．2—1．3倍，原因是由于传动部件使链条主振周期增长之故。一般的可拆模锻链中的弹性波传播平均速度约为885m／s。
统一的波动方程为
其通解为 
根据边界条件，
x=0时，u=0得积分常数D=0
x=L时u=0得：Csin 
因为D=0，故C不应为零，失去意义。故
n=1,2,3……
式中pn——系统自由振动的角频率。
链条断面位移一般表达式为
当n=1时为基波，其周期为
链条作非匀速运动所引起的动载荷，其大小主要决定于其强迫振动的振幅。振幅的大小取决于系统自振频率与激励频率的比值，当外力的周期与系统自由振动的某阶主振周期相同时，系统产生共振，振幅达到最大值，该情况发生在链条某几种速度时。此时动载荷为最大。
对均布质量的链条求强迫振动
的振幅是较复杂的问题。因此可近似采用单自由度系统振动的方程来表达
式中u——折算到链轮端的链条质量；
P——系统的主自振角频率；
pB——激励的角频率；
AB——激励作用的位移周期。
此时由强迫振动产生动载荷的幅值为
式中m——折算到链轮端的链条质量。
动载荷的共振幅值在很大程度上取决于链条工作时的耗散力。耗散力主要有：
(1)外部的均布阻力，即链条与槽体，物料与槽体之间的摩擦阻力。
(2)内部的均市阻力，即链条内部的摩擦与变形产生的阻力。
(3)外部集中阻力，即弹性波在反射和拆射处损耗的阻力。
研究表明第三点导致链条振动衰减的主要因素。其原因是弹性波在驱动轮处反射时，由于传动箱的振动及驱动轮和传动机构的不可逆位移而产生的能量消耗比较大。而内外部的均布阻力一般使振动衰减很小。
3)降低动载荷的途径。虽然链条工作时有很大的耗散力，链条如果共振时，其动载荷还能使链子很快地疲劳损坏。因此，使链条在远离共振区工作是非常必要的。其办法可以采取提高链速，保持生产能力，既可减少链条中的静张力，又降低动张力；还可以采用弹性张紧装置和在电动机与减速器之间采用弹性联轴器，以降低链条整个系统的自振频率。研究还表明：合理选择整个输送机的参数，使链条的强迫振动与其自由振动作用的结果相互抵消，则动载荷明显减小。为此必须满足
式中m——链条自由振动周期与强迫振动周期之比(n＝2，4，6，……)。
动载荷产生的主要原因是链条运动速度的不均衡，曾经有人提议采用均衡机构消除链速的不均衡性。这种看法在理论上看是正确的，因为它是从消除产生动力载荷根本原因出发的。均衡机构的原理是给驱动轴以不均匀圆周速度的传动，其不均匀的周期恰恰相当于链轮转动一个链环中心角的时间，同时它的运动规律恰好与无均衡机构时链条直线速度变
化规律相反Ｎ此，均衡机构可以用偏心传动、椭圆轮、定形凸轮、曲线轮等。它的最大缺点是使驱动装置的构造复杂化，提高机器成本；许多类型的均衡机构虽然改善了链条的工作状况，但是，使驱动装置的其它零件工作条件变坏，因此迄今为止，均衡机构没有获得实际应用。
理论上，降低链条运动速度，减小链条节距，增加链条齿数，可减小动载荷。但根据实验研究证明，采取上述方法带来其它因素的变化，最终不一定有利于链条传动。例如，减小链条节距，如果输送机长度不变，增加链条节数，销轴数量和链条自重使磨损部位增加，链条非弹性伸长量增大。如果增加链统菔，可以有效地减小动载荷，在链条节距不变的情况下，必然导致加大链轮的直径，此时又受到驱动装置空间大小的限制。链条移动速度降低，不仅影响运输量，而且在相同的受料情况下，使单位长度的重载段的载荷增加，反而增大了链条内的静张力和动张力，张力过大还加速链条销轴湍ニ稹