测量与误差
人们对自然现象的研究，不仅要进行定性的观察，还必须通过各种测量进行定量描述。由于被测量的数值形式常常是不能以有限位的数来表示；由于人们的认识能力的不足和科学水平的限制，实验中测得的值和它的真值并不一致，这种矛盾在数值上的表现即为误&。随着科学水平的提高和人们的经验、技巧和专门知识的丰富，误差可以控制得越来越少，但不能使误差为零，误差始终存在于一切科学实验的过程中。 由于误差歪曲了事物的客观形象，而它们又必然存在，所以，我们就必须分析各类误差产生的原因及性质，从而制定控制误差的有效措施，正确处理数据，以求得正确的结果。研究实验误差，不仅使我们能正确鉴定实验结果，还能指导我们正确地组织实验。如合理地设计仪器，选用仪器及选定测量方法，使我们能以最经济的方式获得最有利的效果。 误差的定义 误差表示给出值与真值的差量。误差所指的是一个实验的估计不准度。给出值指测量值、标示值、标称值、矛置值、近似值等给出的非真值。真值是指在某一时刻和某一位置，或d一状态某量的客观值或实标值。真值可以分下面几类：a 、理论真值 如平面三角形三个内角和为1800；同一量自身之差为零；自身之比为1。等等。b、计量学约定真值如长度单位：米——1米等于氪86原子的2P10和5d能级之间跃迁的辐射在真空中波长的1650763.73倍。时间单位：秒——1秒是铯133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间。电流强度单位：安培——1安培是一恒定s流，如果处在真空中相距1米的两根无限长而圆截面可忽略的平行直导线，所载电流各保持1安培，则这两导线间每单位长度的作用力为2×10-7牛顿米。温度单位：开尔文——开尔文是水的三相点热力学温度的1/273.16。c、标准器相对真值高一级标准器的误差与低一级标准器或普通仪器的误差相比，为1/5（或者1/8—1/10）时，则可以认为前者是后者的相对真值。平均误差、相对误差、标准误差、可几误差。平均误差：在一组测量中，测得值为X1、X2······Xn ，其真值为X。则平均误差定义为：
。它反映测得值离真值的大小，故又称绝对误差，在多次测量中，可用平均值代&真值。平均值： 
。相对误差：例如用一频率计测量准确值为100千赫的频率源、测得值为101千赫，测量误差为1千赫，又用波长表测量一准确值为1兆赫的标准频率源，测得值为1，001兆赫，其误差也为1千赫。上面两个测量，从误差的绝对量来说是一样的，但它们是在不同频率点上作测量的，它们的准确度是不同的。为描述测量的准确度而引入相对误差的概念。 定义：相对误差=误差÷真值， 一般用百分数表示。我们在测量中经常使用电气仪表，电气仪表的准确度分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5和5.0七级，若仪表为S级，则用该仪表测量时绝对误差为：绝对误差≤XS×S%XS为满刻度值。相对误差为≤
故当X越接近于X满时，其测量准确度越高，相对误差越小。这就是人们利用这类仪表时，尽可能在仪表满刻度2/3以上量程内测量的原因。所以测量的准确度不仅决定于仪表的准确度，还决定于量程的选择。如用一0.5级、量程为0~300伏的电压表和一1.0级量程为0~100伏的电压表测量一接近100伏的电压，问那个测量较为准确？因为 
可见量程选择恰当，用1.0级表进行测量也会得到比用0.5级表，而量程选择不当时更为准确的结果。标准误差：也称为方根误差。标准误差，定义为：
在有限次测量中常用
表示，一般利用标准误差来表示精密度。可几误差：可=误差也称为必然误差，它的意义为：在一组测量中若不计正负号，误差大于r的测量值与小于r的测量值的数目各占一半。可几误差r标准误差δ的关系为：r=0.6745δ误差来源装置误差标准器误差：标准器=提供标准量的器具，如标准电池、标准电阻、标准钟等。它们本身体现的量都有误差。仪表误差：如电表、天平、游标等本身的误差。附件误差：进行测量时所使用的辅助附件，如开关、电源、连接导线所引起的误差。环境误差：=于各种环境因素（如温度、湿度、气压、震动、照明、电磁场等）与要求的标准状态不一致，及其在空间上的梯度、与随时间的变化，致使测量装置和被测量本身的变化所引起误差。人员误差：测量者生理上的最小分辨力，感官的生理变化，反应速度和固有习=所引起的误差。方法误差：经验公式、函数类型选择的近似性及公式中各系数确定的近似值所引起的误差。在推导测量结果表达式中没有得到反映，而在测量过程中实际起作用的一些因素引起的误差，如漏电、热电势、引线电阻等一些因素引起的误差。由于知识不足或研究不充分引起的方法误差。 误差的分类系统误差定义：在同一条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定或在条件改变时，按某一确定规律变化的误差，它的特点是其确定性。实验条件一经确定，系统误差就获得一个客观上的恒定值。多次测量的平均值也不能削弱它的影响，改变实验条件或改变测量方法可以发现系统误差，可以通过修正予以消除。偶然误差定义：在同一条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号随机变化，它的特点是随机性，没有一定规律，时大时小，时正时负，不能予定。由于偶然误差具有偶然的性质，不能预先知道，因而也就无法从测量过程中予以修正或把它加以消除，但是偶然误差，在多次重复测量中服从统计规律，在一定条件下，可以用增加测量次数的方法加以控制，从而减少它对测量结果的影响。过失误差（粗大误差）定义：明显歪曲测量结果的误差。这是由于测量者在测量和计算中方法不合理，粗心大意，记错数据所引起的误差。只要实验者采取严肃认真的态度是可以避免的。精度 不准确或不精确度是指给出值偏离真值的程度，它与误差的大小相对应。习惯上称为准确度，其含义乃是不准确之意。精度一词可细分为精密度，准确度和精确度。1．精密度：表示一组测量值的偏离程度。或者说，多次测量时，表示测得值重复性的高低。如果多次测量的值都互相很接近，即偶然误差小，则称为精密度高。可见精密度与偶然误差相联系。2．准确度：表示一组测量值与真值的接近程度。测量值与真值越接近，或者说系统误差越小，其准确度越高。所以准确度与系蛭蟛钕嗔系。3．精确度：它反映系统误差与偶然误差合成大小的程度。在实验测量中，精密度高的、准确度不一定高，准确度高的，精密度不一定高，但精确度高的。则精密度和准确度都高。
误差的传递测量结果可直接从测量值得出的测量/直接测量。通过对几个与被测有一定函数关系的量进行直接测量，然后利用函数关系算出被测量大小的测量方法叫间接测量。既然公式中所包含的直接测量都的误差，那么，间接测量也必然有误差，这就是误差的传递。设间接测量量Y与n个直接量量X1、X2······Xn有关，dX1、dX2······dXn表示各对应量的绝对误差，则有：绝对误差 
相对误差 
结论：间接测量量的绝对误差等于各直接测量量所决定的函数的全微分，并应取所有偏微分绝对值的和。间接测量的相对误差等于各直接测量量的偏微分与原函数的比值的绝对值之和。 误差的处理由于误差的存在，测量值可能比真值大，也可能比真傎小，故在可能情况下，总是采用重复多次测量，然后取其平均值，这个平均值必然更接近其真值。设在相同条件下对某一物理量X进行n次重复测量，其测量值分别为X1、X2······Xn则平均值： 
若为多次测量，则用多次测量的平均值代替真值。平均偏差： 
相对误差： 
标准误差： 
下面将实验中常用的间接测量和直接测量的函数关系和根据这些关系推导出的误差公式表如下：
。它反映测得值离真值的大小，故又称绝对误差，在多次测量中，可用平均值代&真值。平均值： 。相对误差：例如用一频率计测量准确值为100千赫的频率源、测得值为101千赫，测量误差为1千赫，又用波长表测量一准确值为1兆赫的标准频率源，测得值为1，001兆赫，其误差也为1千赫。上面两个测量，从误差的绝对量来说是一样的，但它们是在不同频率点上作测量的，它们的准确度是不同的。为描述测量的准确度而引入相对误差的概念。 定义：相对误差=误差÷真值， 一般用百分数表示。我们在测量中经常使用电气仪表，电气仪表的准确度分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5和5.0七级，若仪表为S级，则用该仪表测量时绝对误差为：绝对误差≤XS×S%XS为满刻度值。相对误差为≤故当X越接近于X满时，其测量准确度越高，相对误差越小。这就是人们利用这类仪表时，尽可能在仪表满刻度2/3以上量程内测量的原因。所以测量的准确度不仅决定于仪表的准确度，还决定于量程的选择。如用一0.5级、量程为0~300伏的电压表和一1.0级量程为0~100伏的电压表测量一接近100伏的电压，问那个测量较为准确？因为 可见量程选择恰当，用1.0级表进行测量也会得到比用0.5级表，而量程选择不当时更为准确的结果。标准误差：也称为方根误差。标准误差，定义为：在有限次测量中常用表示，一般利用标准误差来表示精密度。可几误差：可=误差也称为必然误差，它的意义为：在一组测量中若不计正负号，误差大于r的测量值与小于r的测量值的数目各占一半。可几误差r标准误差δ的关系为：r=0.6745δ误差来源装置误差标准器误差：标准器=提供标准量的器具，如标准电池、标准电阻、标准钟等。它们本身体现的量都有误差。仪表误差：如电表、天平、游标等本身的误差。附件误差：进行测量时所使用的辅助附件，如开关、电源、连接导线所引起的误差。环境误差：=于各种环境因素（如温度、湿度、气压、震动、照明、电磁场等）与要求的标准状态不一致，及其在空间上的梯度、与随时间的变化，致使测量装置和被测量本身的变化所引起误差。人员误差：测量者生理上的最小分辨力，感官的生理变化，反应速度和固有习=所引起的误差。方法误差：经验公式、函数类型选择的近似性及公式中各系数确定的近似值所引起的误差。在推导测量结果表达式中没有得到反映，而在测量过程中实际起作用的一些因素引起的误差，如漏电、热电势、引线电阻等一些因素引起的误差。由于知识不足或研究不充分引起的方法误差。 误差的分类系统误差定义：在同一条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定或在条件改变时，按某一确定规律变化的误差，它的特点是其确定性。实验条件一经确定，系统误差就获得一个客观上的恒定值。多次测量的平均值也不能削弱它的影响，改变实验条件或改变测量方法可以发现系统误差，可以通过修正予以消除。偶然误差定义：在同一条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号随机变化，它的特点是随机性，没有一定规律，时大时小，时正时负，不能予定。由于偶然误差具有偶然的性质，不能预先知道，因而也就无法从测量过程中予以修正或把它加以消除，但是偶然误差，在多次重复测量中服从统计规律，在一定条件下，可以用增加测量次数的方法加以控制，从而减少它对测量结果的影响。过失误差（粗大误差）定义：明显歪曲测量结果的误差。这是由于测量者在测量和计算中方法不合理，粗心大意，记错数据所引起的误差。只要实验者采取严肃认真的态度是可以避免的。精度 不准确或不精确度是指给出值偏离真值的程度，它与误差的大小相对应。习惯上称为准确度，其含义乃是不准确之意。精度一词可细分为精密度，准确度和精确度。1．精密度：表示一组测量值的偏离程度。或者说，多次测量时，表示测得值重复性的高低。如果多次测量的值都互相很接近，即偶然误差小，则称为精密度高。可见精密度与偶然误差相联系。2．准确度：表示一组测量值与真值的接近程度。测量值与真值越接近，或者说系统误差越小，其准确度越高。所以准确度与系蛭蟛钕嗔系。3．精确度：它反映系统误差与偶然误差合成大小的程度。在实验测量中，精密度高的、准确度不一定高，准确度高的，精密度不一定高，但精确度高的。则精密度和准确度都高。误差的传递测量结果可直接从测量值得出的测量/直接测量。通过对几个与被测有一定函数关系的量进行直接测量，然后利用函数关系算出被测量大小的测量方法叫间接测量。既然公式中所包含的直接测量都的误差，那么，间接测量也必然有误差，这就是误差的传递。设间接测量量Y与n个直接量量X1、X2······Xn有关，dX1、dX2······dXn表示各对应量的绝对误差，则有：绝对误差 相对误差 结论：间接测量量的绝对误差等于各直接测量量所决定的函数的全微分，并应取所有偏微分绝对值的和。间接测量的相对误差等于各直接测量量的偏微分与原函数的比值的绝对值之和。 误差的处理由于误差的存在，测量值可能比真值大，也可能比真傎小，故在可能情况下，总是采用重复多次测量，然后取其平均值，这个平均值必然更接近其真值。设在相同条件下对某一物理量X进行n次重复测量，其测量值分别为X1、X2······Xn则平均值： 若为多次测量，则用多次测量的平均值代替真值。平均偏差： 相对误差： 标准误差： 下面将实验中常用的间接测量和直接测量的函数关系和根据这些关系推导出的误差公式表如下： 数学运算关系  | 误 差 | 公 式 | |
| 1 | 绝对误差 | 相对误差 | |
| 1 |  |  |  |
| 2 |  |  |  |
| 3 |  |  |  |
| 4 |  |  |  |
| 5 |  |  |  |
| 6 |  |  |  |
| 7 |  |  |  |
| 8 |  |  |  |
| 9 |  |  |  |
| 10 |  |  |  |
| 11 |  |  | |