3.2点、直线和平面的投影分析_机械制图基础

3.2 点、直线和平面的投影分析 

  3.2.1 点的投影

一、三投影面体系

由正立投影面V、水平投影面H 和侧立投影面W 三个互相垂直的投影面构成的投影面体系称为三投影面体系。正立投影面简称正面或V 面、水平投影面简称水平面或H 面、侧立投影面简称侧面或W 面。三投影面两两相交产生的交线OX、OY、OZ 称为三根投影轴，简称X 轴、Y 轴、Z 轴（如右图）,三轴的交点O 称为原点。

二、点的三面投影

空间一点A 在三面投影体系中分别向三个投影面H、V、W作投射线，投射线在H面、V面、W面的垂足a、a'、a"称为点A 的三面投影（如右图）。图中每两条投射线分别确定一个平面，它们与三根投影轴分别交于ax，ay和az。

    约定：空间点用大写字母表示，例如A；投影用相应的小写字母表示，例如水平投影a；正面投影用相应的小写字母带“'”表示，例如a'； 侧面投影用相应的小写字母带“"”表示，例如a"。

三、点的投影图

V 面不动，H 面和W 面沿OY 轴分开而形成OYH 和OYW，水平面H 和水平投影一起绕OX 轴往下旋转与正面V 重合；侧面W 连同侧面投影一起绕OZ 轴往右旋转与正面V 重合得到展开后的投影图（如图(b)）。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称。常见的点的投影图如图(c)。

 

(a)点A的三面投影及其展开(b)H面、W面转到与V面重合(c)点的投影图

四、点的投影规律

由下图可见：Aa = a'ax = a"ay = z 坐"，反映点A 到H 面的距离；Aa' = aax = a"az = y 坐标，反映点A 到V 面的距离；Aa" = aay = a'az = x 坐标，反映点A 到W 面的距离。同时有：a'a 垂直于OX 轴，a'a" 垂直于OZ 轴，aa" 垂直于OY 轴。
    点的三面投影规律为：
1、两面投影连线垂直于相应的投影轴；
2、点的投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离，等于该点的相应坐标。

(a)点在三面投影体系中的投影(b)展开图

空间点A到三个投影面的距离Aa"、Aa'、Aa可用点A的三个直角坐标xA、yA和zA表示，记为（xA,yA,zA）。 

 例3-1 已知空间sA（11,8,15），求作它的三面投影图。

 

 

例3-2 如下图所示，已知空间点B 的正面投影b′和水平投影b，求作该点的侧面投影b″。    

  分析： 由点的投影规律可知：b′b″⊥ 0Z 轴，所以 b″一定在过b′且垂直于OZ轴的直线上，又因b到OX轴的距离bbx等于b″到OZ轴的距离b″bz，利用此关系，便可以求得b″。

3.2.2 两点的相对位

如图(a)所示，有A、B 两个点，它们对投影面的相对位置确定了A、B 两点各自的坐标，而A、 B 两点间的相对位置是由各方向的坐标差来决定的。 如图(b)所示，设点A 和点B 的坐标分别为(XA、YA、ZA)和(XB、YB、ZB)，如以点A 为基准点，当点B 与它比较时，则点B 对点A 的一组坐标差为：   

△X(X轴方向坐标差)＝XB－XA，确定两点左、右相对位置； △Y (Y 轴方向坐标差)＝YB－YA，确定两点Z(Z轴方向坐标 差)＝ZB－ZA，确定两点上、下相对位置。 △X、△Y、△Z为正时，点B 分别在基准点A 的左方、前方、上方； △X、△Y、△Z 为负时，点B 分别在基准点A 的右方、后方、下方。     

 

 

 

 

例3-3 已知点A 的三面投pa 、a′、a″，如图所示，并知点B 在点A 左方11mm，在点A 上方8mm，在点A 前方6mm，求作点B 的三面投影b、b′、b″     

图中省去了坐标轴，故称为无轴投影图。这是由于在画物体的三面投影时，往往是利用相对坐标作图，从而省去坐标轴。工程图样基本上都是使用这种无轴投影图。

3.2.3 重影点

一、重影点的概念
    如果空间两点位于某一投影面的同一条投射线上，则这两点在该投影面上的投影就会重合为一点，称之为对该投影面的重影点/如图，A、B 两点的X、 Y 坐标相等，而Z 坐标不等，从而它们的水平投影重合为一点，称之为/H 面的重影点。   类似地，也会有V 面重影点和W 面重影点。

    二、重影点的作用
    利用重影点可以判别两点的可见性。对于某面重影点，规定距该面距离较远，即坐标值大者为可见。反之，为不可见。如图，因为ZA>ZB，故水平投影上a 可见，b 不可见，对不可见点的投影加上括号。

 

 

3.2.4 直线的投影

直线是无限长的。直线的空间位置可由线上两点确定。直线上两点之间的线段称为直线段。为了叙述方便，本课程把直线段简称为直线。直线的投影可由线上两点在同一个投影面上的投影（同面投影）相连而得。例如，要作出直线AB的三面投影，可先作出其两端点a、a’、a” 和b、b'、b"，如图(a)所示，然后将其同面投影相连，即得AB直线的三面投影ab、a'b'、a"b"，如图(b)所示。 直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。其对H面的倾角用a表示，对V面的倾角用b 表示，对W面的倾角用g表示。

(a) 两点的投影(b) 直线的投影

3.2.5 投影面平行线

平行于某一投影面，同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。
    一、水平线
    平行于水平面的直线称为水平线。水平线的投影特性：
1) 它的水平投影反映实长，即ab = AB；
2) 它的正面投影a'b' 平行于X轴，侧面投影a"b" 平行于OYW 轴；
3) 它的水平投影与X 轴的夹角等于该直线对V 面的倾角b，与OYH 轴的夹角等于该直线对W 面的倾角g。

二、正平

平行于正面的直线称为正平线。正平线的投影特性：
1) 它的正面投影反映实长，即a'b' = AB；
2) 它的水平投影ab 平行于X 轴，侧面投影a"b" 平行于Z 轴；
3) 它的正面投影与X 轴的夹角等于该直线对H 面的倾角ae与Z 轴的夹角等于该直线对W 面的倾角g。

(a) 直观图   (b) 投影图

三、侧平线

平行于侧面的直线称为侧平线。侧平线的投影特性：
1) 它的侧面投影反映实长，即a"b" = AB；
2) 它的水平投影ab 平行于OYH 轴，正面投影a'b' 平行于Z 轴；
3) 它的侧面投影与OYW 轴的夹角等于该直线对H 面的倾角a，与Z 轴的夹角等于该直线对V 面的倾角b。

(a) 直观图    (b) 投影图3.2.5 投影面垂直线垂直于某一投影面，同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。
    一、铅垂线
    垂直于水平面的直线称为铅垂线。铅垂线的投影特性：
1) 它的水平投影积i为一点，即a(b)；
2) 它的另外两个投影都垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长，即a'b' 垂直于OX轴，a"b" 垂直于OYW 轴，a'b' = a"b" = AB。
 (a) 直观图   (b) 投影图

二、正垂线

垂直于正面的直线称为正垂线。正垂线的投影特性：
1) 它的正面投影积聚为一点，即a'(b')；
2) 它的另外两个投影都垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长，即ab 垂直于OX 轴，a"b" 垂直于OZ 轴，ab = a"b" = AB。

(a) 直观图（b)投影图

三、侧垂线

垂直于侧面的直线称为侧垂线。侧垂线的投影特性：
1) 它的侧面投影积聚为一点，即a"(b")；
2) 它t另外两个投影都垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长，即ab 垂直于OYH 轴，a'b' 垂直于OZ 轴，ab = a'b' = AB。

(a) 直观图  (b) 投影图