机械制图教程(2.5)几何体的投影

2.5 几何体的投影

    按照一定规则形成的简单立体称为基本体。

    机器零件无论其形状如何复杂，都可看成是由棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球、圆环等基本体按一定方式组合而成的。如图2-30是由基本体组合而成的机件。根据基本体在机件中所起的作用不同，常加工成带切口、穿孔等结构而形成带切口的基本体。

图2-30  机件表面的几何形状

    按表面性质的不同，基本体通常分为平面立体和曲面立体两类。本章研究上述两类立体的投影及立体表面取点、取线的作图方法。

2.5.1 平面立体的投影

    平面立体是由平面围成的，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱和棱锥。

2.5.1.1  棱柱

1  棱柱的投影

    棱柱由两个形状、大小相同且平行的顶、底面和若干个矩形棱面围成。

    图2-31为一水平放置的正六棱柱和它的三面投影，它的顶面和底面为正六边形，且为水平面，水平投影反映实形，六个棱面为铅垂面，在水平投影面上的投影有积聚性。正面投影为三个相邻的矩形，中间矩形线框为前后棱面的投影，反映实形，左右两线框是其余四个棱面的投影，为类似形；侧面投影的两个相邻矩形，读者可自行分析。

    作棱柱的三面投影时，一般先画有积聚性的投影，然后按投影关系，完成其他两面投影。

2  棱柱表面上取点和取线

    在图2-31中，由于棱柱表面都处在特殊位置，所以棱柱表面上点的投影均可利用平面投影的积聚性来作图。在判断可见性时，若该平面处于可见位置，则该面上点的同面投影也可见，反之为不可见。有积聚投影的平面上的点的投影，不必判断其可见性。

    如图2-31（b）所示，已知正六棱柱棱面ABCD上点M的正面投影m′,求该点的水平投影m和侧面投影m″。

图2-31  六棱柱的投影及面上取点

    由于点M所属棱面ABCD为铅垂面，其水平投影有积聚性，因此点M的水平投影m必在该棱面积聚性投影abcd上，根据m′、m求出m″,由于ABCD的侧面投影为可见，故m″也为可见。

    例2-11  设五棱柱的表面上有点A、B和线段CD、DE，且a′、b′、c″d″、d″e″为已知（图2-32（a)),试完成它们的其余两投影。

图2-32  五棱柱面上取点取线

解 点A在五棱柱的前棱面上，由于该面的水平投影和侧面投影均有积聚性，可直接求得a、a″；点B在右棱面上，而"棱面的水平投影有积聚性，故作图时利用积聚性先求b，再根据YHB=YWB和b′求得b″。由于右棱面在侧面投影上为不可见面，故b″为不可见（加括号表示）。求作线段CD、DE的其余投影，需求出线段两端点的各投影，然后把同面投影相连。图中处在棱线上的点D可根据d″直接求得d′和d；点C的两投影可由YWC=YHC确定c后再求c′,用同样的方法可求得e和e′。连线时，由于CD所在棱面的正面投影不可见，故c′d′为不可见，用虚线表示。

2.5.1.2  棱锥

1  棱锥的投影

    棱锥是由一个多边形底面和若干个共顶点的三角形棱面所围成的。从棱锥顶点到底面的距离叫做棱锥的高。当棱锥底面为正多边形，各棱面是全等的等腰三角形时，称之为正棱锥。

图2-33四棱锥的投影及面上取点

图2-33所示为四棱锥及其投,，它的底面为水平面，其水平投影反映实形，前后棱面为侧垂面，其侧面投影有积聚性，其水平投影和正面投影为前后棱面的类似形；左右棱面为正垂面，其正面投影有积聚性，其余两投影为左右棱面的类似形。作图时，宜先画出棱锥底面的各投影，然后画出锥顶的各投影，最后将它与底面各顶点的同面投影连接起来即可。

2  棱锥表面上取点和取线

    设在四棱锥前棱面上有一点C的正面投影c′(图2-33），求其水平投影c和侧面投影c″。利用前棱面的侧面投影有积聚性，可先求出c″,然后由YWC=YHC和c′求得c。若只给出四棱锥的正面投影和水平投影，且有一点D在前棱面上，d′为已知，求d时，须在该棱面上过D作一辅助线（如KM），即先过d′作k′m′,然后求km,则d必在km上，如图2-33所示。

    例2-12  已知三棱锥表面上直线HM、MN的正面投影h′m′、m′n′,试求其水平投影和侧面投影（图2-34）。

图2-34  三棱锥表面上取线

解  分析：由题设h′m′∥a′b′,且AB为水平线，故直线HM为棱面SAB上的水平线，即HM∥AB。MN为棱面SBC上的一般位置直线，点M在棱线SB上，必须作辅助线求点N的其余投影。

作图步骤：

（1） 由于点M在棱线SB上，根据m′，先求出m″后再求得m；

（2） 在水平投影上作hm∥ab,在侧面投影上作h″m″∥a″b″;

（3） 在棱面SBC上作辅助线SD确定点N的水平投影n和侧面投影n″;

（4） 分别连接点M、N的水平投影mn和侧面投影m″n″；

（5） 判别可见性，因棱面SBC的侧面投影不可见，故m″n″亦不可见，应连虚线，如图2-34（b）所示。

2.5.2  曲面立体的投影

    曲面立体是由曲面或曲面和平面围成的，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环。这些曲面都是由母线（直线或圆）绕某一轴线旋转而成的，所以又称为回转体。常见的四种回转面的形成方式见表2-8。

表2-8  四种回转面的形成方式

2.5.2.1  圆柱

1  圆柱的投影

    圆柱是由圆柱面及顶、底平面围成的。圆柱面0看成是由一平行于轴线的直线母线绕轴线旋转而成的（如图2-35（a）），它的三面投影见图2-35（b）。该圆柱的轴线垂直于水平面，顶面和底面均为水平面，故其水平投影反映实形；圆柱面的水平投影积聚为一个圆周，圆柱面上任何点和线的投影都积聚在该圆周上。正面投影中，上下两0形线分别是圆柱的顶面和底面有积聚性的投影，左右两外形线分别是圆柱面上最左、最右两素线的投影，最左、最右素线在水平投影中均积聚成一点，而在侧面投影中都重合在圆柱轴线的投影上。侧面投影中，左右两外形线分别为圆柱的最后、最前素线的投影。

图2-35  圆柱的投影

关g可见性问题，对正面投影来说，前半个圆柱面是可见的；在侧面投影，左半个圆柱面是可见的。

2  圆柱表面上取点和取线

    当圆柱面的回转轴线垂直于某一投影面时，则圆柱面在该投影面上的投影具有积聚性，利用这一投影性质，在圆柱面上取点、取线的作图比较简便。

例2-13  设已知从属于圆柱面上点K的正面投影，试求其他两个投影（图2-36）。

解  由于（k′)不可见，故点K在圆柱面后半部，又因圆柱面的水平投影有积聚性，故点K的水平投影k必落在后半圆周的水平投影上。根据（k′）及k即可求出k″，由于点k又在圆柱左半部，故其侧面投影k″为可见。

例2-14  补画圆柱的侧面投影，并求作圆柱面上线段ABC的其余两投影（图2-37（a））。

解  分析：线段ABC是前半个圆柱面上的一段曲线，点A和B分别在圆柱的最左、最前素线上，处于特殊

图2-36  圆柱面上取点       图2-37  求作圆柱面上线段ABC的其余两投影

位置，点C处在圆柱面上的一般位置。

作图步骤：

（1） 补画圆柱的侧面投影；

（2） 点A、B、C的水平投影均积聚在圆周上，根据点的投影规律分别确定其水平投影和侧面投影；

（3） 为使作图更准确，需在曲线ABC上取若干点（如点Ⅰ、Ⅱ)，并求出相应的水平投影和侧面投影；

（4） 区分可见性，依次光滑连点成线，见图2-37（b）。

2.5.2.2  圆锥

1  圆锥的投影

    圆锥是由圆锥面和底平面围成的。圆锥面可看成是由一与轴线相交的直母线绕轴线回转而成的，如图2-38（a）所示。图2-38（b）为轴线垂直于H面的圆锥的投影。

图2-38  圆锥的投影

由图2-38（b）可见，圆锥面的三面投影都没有积聚性，正面投影和侧面投影中的左右外形线分别是圆锥面上最左、最右素线=最后、最前素线的投影，水平投影中圆的范围既是圆锥底面的投影，也是圆锥面的投影。

2  圆锥面上取点和取线

    由于圆锥面的投影没有积聚性，故在圆锥面上取点、取线，必须通过在圆锥面上作辅助线的方法求解。既可过锥顶作直素线为辅助线，也可作纬圆为辅助线。如已知圆锥面上点K的正面投影k′，试求其他两投影时，具体作法如下。

（1）过锥顶的素线法（图2-39（b））：

①由锥顶s′过k′作直线s′k′并延长交底圆的投影于e′;

②求出点E的水平投影e，并连se;

③按点的投影规律在se上作K的水平投影k;

④根据k′和k便可求得k″。

图2-39  圆锥面上取点

（2）辅助纬圆法（图2-39（c））：

图2-40  属于圆锥面曲线的投影

①过k′作直线垂直于轴线的投影且与外形线相交于e′,与轴线的投影相交于o′，则o′e′为辅助纬圆的半径；

②在水平投影中，以o为圆心，o′c′为半径画圆，即是辅助纬圆的投影；

③根据k′在辅助圆周上即可得k；

④由k′和k，便可作出侧面投影k″。

例2-15  已知圆锥面上曲线AE的正面投影a′e′

(图2-40），试求其他两投影。

解  分析：将曲线AE看成由n个点（如5个点）组成，由于a′e′可见，故曲线AE在圆锥前半部。

作图：利用辅助纬圆法分别求出A、B、C、D、E五个点的其他两投影，然后依次连接成光滑曲线，点C(c，c′，c″）属于圆锥面的左视转向线S1,c″在s″1″上，点C把曲线分成两部分，曲线CE在圆锥面的左半部分，其侧面投影c″e″为可见，画成粗实线；曲线AC在圆锥面的右半部，其侧面投影a″c″不可见，画成虚线，因此c″是曲线侧面投影可见与不可见部分的分界点。

2.5.2.3  圆球

1  圆球的投影

    一圆母线绕其通过圆牡闹嵯撸ㄖ本叮┗刈后形成的曲面称为圆球面，圆球面所围成的立体

图2-41  圆球的投影

图2-42  圆球面上取点

称圆球体，如图2-41（a）所示。圆球的三面投影如图2-41（b），它们都是与球直径相等的圆。这三个圆分别为球面上平行于各投影面的最大2的投影。其中，正面投影上的圆是前半球与后半球分界线

（即主子午线）的投影，与它对应的水平投影重合在平行于 X轴的中心线上，侧面投影重合在平行于Z轴的中心线上。至于水平投影、侧面投影上的圆及与之对应的其余两投影的位置，读者可自行分析。

2  圆球面上取点和取线

在圆球面上取点时，通常只能在球面上作辅助线圆，即可分别作出平行于三个投影面的圆。如图2-42中的点A，  A，  已知正面投影a′,求a和a″时，可过点A作平行于H面的圆为辅助圆，也可过A作平行于W面或平行于V面的圆为辅助圆，图中是通过A作平行于H面的辅助圆而获得a和a″。点B是处于主子午线上的特殊点，已知正面投影b′，可直接求得b和b″。

例2-16  已知半球面上点A及线段BC、CD的正面投影，补画半球的水平投影，并求点、线的其余两投影（图2-43（a))。

解  点A是主子午线上的点，此点为特殊点，可直接求得其余两投影。线段BC是球面上平行于赤道圆的一段圆弧，其水平投影仍是一段圆弧，侧面投影是一段直线；线段CD是圆球面上倾斜于水平投影面和侧立投影面的一段圆弧，其水平投影和侧面投影均为一段椭圆弧；点C是特殊点，可直接求得c和c″。点D属一般点，需通过作辅助圆求d和d″。为了作图准确起见，必须在圆弧CD上再取若干一般（如点Ⅰ、Ⅱ），并采用辅助圆法求出它们的其余两投影，然后依次光滑连线。圆弧CD在右半球面上，其侧面投影为不可见，如图2-43（b）所示。

2.5.2.4圆环

    圆环是由环面围成的。环面可看作圆绕与圆共面但不过圆心的轴线旋转而成。图2-44（a）为轴线垂直于H面的圆环的投影，靠近轴的半个环面为内环面，远离轴的半个环面称为外环面。图2-44（b）为圆环的三面投影。

图2-43  求半球面上点、线的其余两投影

图2-44  圆环的投影

2.5.3  基本体的尺寸标注

    基本体都有一定的长度、宽度和高度。在一般情况下，长、宽、高三个尺寸都要标注，如表2-9中的四棱柱。但有些基本体，这三个尺寸中的两个或三个是互相关联的，如表2-9中的六棱柱，正六边形的对角距与对边距相互关联（即16=18.48×sin60°），故除标出六棱柱的高8以外，注上对边距16，尺寸就完整了，（18.48）则为参考尺寸。圆柱、圆台等的尺寸，宜注在反映回转曲线的投影上，以便减少投影图的数目。对于圆球，只要画出一个投影，标-一个尺寸就行了。表2-9为常见基本体尺寸标注示例。

表2-9  常见基本体尺寸标注示例

2.5.4  带切口的基本体

    在生产实际中，我们常遇到一些机件是带有切口的基本体，如被切去一整块或被切槽、钻孔等。基本体被切割后，在其表面上产生各种交线。本节仅讨论交线及其投影是直线或圆（圆弧）时的特殊情况。

2.5.4.1  带切口的平面立体

1  带切口的棱柱

    图2-45所示为一个带切口的四棱柱，其切口被侧平面R和水平面T切割而成。平面R与棱柱的前、后棱面的交线为矩形的对边，平面T与棱柱各棱面相交，其交线与底面各边对应平行。作图时，先作反映切口特征的正面投影，再求作切口的水平投影，然后按投影对应关系完成侧面投影。

2  带切口的棱台

    图2-46（b）所示是一个带切口的四棱台，其中间的通槽被两个侧平面和一个水平面切割而成。平面R与前后棱面的交线为等腰梯形的两腰，平面T与前后棱面的交线为一矩形卸员摺Ｗ魍际保先作反映切口特征的正面投影，然后求作切口的侧面投影，再由YW=YH完成水平投影，其三面投影如图2-46（a）所示。

2.5.4.2  带切口的曲面立体

1  带切口的圆柱

    如图2-47（b）所示，圆柱左上角的切口由一侧平面P和一水平面Q切割而成。侧平面P与圆柱面相交得两条直线AA1、BB1,水平面Q与圆柱面相交得圆弧A1B1。

    在投影图中，关键是如何求出交线AA1和BB1的侧面投影。从图2-47（a）可见，切口的特征（或位置）通过正面投影表示出来，据此利用圆柱面水平投影的积聚性便能求出交线的水平投影a(a1)、b(b1)，以中心线为基准，按“宽相等”的投影关系便可确定交线的侧面投影。

    图2-48（b）所示为带切口的圆筒，其切口由水平面及侧平面切割圆筒而成，可先作圆筒的投影，然后作出反映切口特驳恼面投影，再按投影规律作出切口的水平投影和侧面投影（图2-48（a））。

图2-45  带切口的四棱柱     图2-46  带切口的棱台

图2-47  带切口的圆柱          图2-48  带切口的圆筒

    图2-49为带切口的半圆筒，各切割平面与圆筒内外表面均相交并产生交线，应分别求出。

    图2-50为一接头的三面投影及立体图，图中各表面交线的求法与图2-47中交线的求法基本相同，所不同的是接头上部中间开槽后，此部分圆柱的最前、最后素线被切去了，因此，在侧面投影中，图形上部前、后的最外轮廓线为槽壁与圆柱面的交线的投影。

2  带切口的圆球

    圆球被任何位置平面切割时，其交线是圆。切割平面与球心的距离h不同，交线圆的直径大小也不相同。h愈小，交线圆的直径愈大；反之，圆的直径愈小。当切割平面为某投影面的平行面时，则交线在该投影面的投影反映圆的实形，如图2-51所示。

图2-49  带切口的半圆筒        图2-50  接头的三面投影

图2-51  平面切圆球                    图2-52 带切口的半球

    圆2-52所示为上部开槽的半球，这个槽由一个水平面和两个侧平面切割而成。作图时应注意交线圆半径的量取位置。

2.5.4.3  带切口基本体的尺寸标注

    带切口基本体的尺寸，由完整的基本体尺寸和切口尺寸组成。标注尺寸时，应先注出完整的基本体的尺寸，然后再标注切口的尺寸。切口的尺寸，通常只需标注确定切割平面位置的定位尺寸，交线本身不需再标注尺寸，因为确定了切割平面位置后，交线的投影可通过作图方法求出，而机件上的交线，均是在加工过程中然形成的，若再注上尺寸，则工艺上是不合理的。

    表2-10为带切口基本体尺寸标注示例。其中带“×”者为多余的尺寸，不应标注。 

表2-10  带切口基本体尺标注示例