机械制图教程(3.1)平面与立体相交

3.1 平面与立体相交

    机械零件的结构是多种多样的，但这些零件往往不是单一或完整的基本立体，而是由平面与立体相交或立体与立体相交产生的，因此，这些零件表面会产生交线，其中由平面与立体表面相交而产生的交线称为截交线，由立体与立体表面相交而产生的交线称为相贯线，如图3-1所示。

为了清楚地表达出机件的形状，应正确地画出这些交线的投影。

图3-1立体表面的交线

3.1.1 概述

　　平面与立体相交，即用平面截切立体，这个平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。

　　截交线的形状与立体表面性质及截平面与立体的相对位置有关，但任何截交线都具有下列两个基本性质：

　　（1）封闭性由于任何立体都占有一定的空间，所以截交线一般为封闭的平面图形。

　　（2）共有性截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点。

　　因此，求截交线可归结为求截平面与立体表面的一系列共有点，然后把它们按一定顺序连线即可。

3.1.2 平面与平面立体相交

    平面与平面立体相交，即平面立体被平面截切，其截窍呤瞧矫娑啾咝危多边形的各边是截平面与立体表面的交线，而多边形的顶点是立体各棱线或底边与截平面的交点，因此平面体上截交线的求法可归结为求两平面的交线或直线与平面的交点问题。

    在图3-2中，三棱锥被正垂面P截切，其截交线是三角形。三角形的三条边分别是三棱锥的三个棱与截平面的交线，三个顶点则分别是三棱锥的三个侧棱面与截平面的交点。由于截平面是正垂面，它的正面投影有积聚性，则截交线的正平面投影与PV重合，故只要求出截交线的水平投影和侧面投影。                                                            

    其作图步骤为：

(1) 在正面投影上，直接标出各棱线与截平面PV的交点1′、2′、3′；

(2)根据1′、2′、3′,由投影关系可求出水平投影1、2、3和侧面投影1″、 2″、3″,其中棱线SB是一侧平线,Ⅱ点的其他投影可先求2″再求2。

(3)依次连接各点的同面投影，并判别可见性。判别可见性的原则是:若截交线所在的立体表面可见，则截交线可见；否则为不可见。在本例中截交线的水平投影、侧3投影全都

可见。

例3.1补画被截四棱锥的水平投影和侧面投影（图3-3(a)）。

解 如图3-3(a)所示，四棱锥被相交的水平面Q和正垂面P所截切。水平面Q与各棱面的交线的正面投影和侧面投影有积聚性，水平面投影反映实形。P平面与各棱面的交线在正面投3有积聚性。截平面与各侧棱的交点的投影在各棱的同面投影上。

图3-2正垂面与三棱锥相交

图3-3四棱锥被两平面所截切

作图步骤：

（1）在正面投影上依次标出各侧棱与截平面的交点1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′。

（2）先求平面Q截四棱锥的截交线的投影。由1′在俯视图上求1，由1作四边形与底面四边形对应边平行>得2、5，平面Q与P的交线ⅢⅣ的投影可由3′、4′在俯视图上求得3、4；侧面投影1″、2″、3″、4″、5″可按投影关系直接求得。同理，可求出平面P截四棱锥的截交线的水平投影和侧面投影6、7、8和6″、7″、8″。

（3）判别可见性，依次连接各点的同面投影。

（4）整理，擦去多余的线，完成作图，如图3-3(b)所示。

3.1.3 平面与曲面立体相交

　　平面与曲面立体相交, 即曲面立体被平面所截切，其截交线为封闭的平面曲线，或由曲ㄓ胫毕呶С傻钠矫嫱夹位蚱矫娑啾咝危其几何形状取决于曲面立体的形状和截平面与曲面立体的相对位置。

　　求曲面立体上的截交线，就是要求截平面与立体上各被截素线的交点，可归结为求线面交点的问题。当截平面或被截圆柱面轴线处于垂直于投影面的特殊位置时，可利用投影的积聚性求出截交线的投影，而在一般的情况下则需要通过作辅助平面才能求出截交线的投影。

3.1.3.1平面与圆柱相交

　　平面与圆柱相交,即圆柱面被平面所截，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线形状有三种(见表3-1)。当截平面与圆柱轴线垂直时，截交线为圆；当截平面与圆柱轴线平行时，截交线为一矩形；当截平面与圆柱轴线倾斜时，截交线为一椭圆，椭圆短轴的长度等于圆柱直径，长轴的长度取决于截平面与圆柱轴线夹角的大小。

　　                         表3-1圆柱面的截交线

图3-4为正垂面截圆柱的投影。由图可知，截平面P倾斜于圆柱轴线且与圆柱面的所有素线都相交，截交线为完整的椭圆。又由于圆柱的轴线为铅垂线，截平面P为正垂面，因此截交线的正面投影积聚在线段a′b′上，水平投影积聚在圆周上，故只需要求出交线的侧面投影。

    具体作图步骤为：

图3-4圆柱的截交线

(1)画出完整圆柱的左视图后，求截交线上的特殊点。特殊点主要是转向轮廓线与截面的交点、极限点（最高 最低、最前、最后、最左、最右点）和椭圆长、短轴的端点等。在图3-4中，截交线上的点A、B、C、D分别是极限点，也是转向轮廓线上的点，也是椭圆长、短轴的端点 根据它们的正面投影和水平投影按投影关系可直接求出侧面投影。

（2）求截交线上的一般点。为使作图准确，还要作出若干一般点的投影。为作图简便，一般选取椭圆上四个对称点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ。同上，由1′ (2′)、3′(4′)和1、2、3、4可求出1″、2″、3″、4″。

（3）依次光滑连接各点的投影，并判别可见性。在本例中截交线的侧面投影全都可见。      

（4）整理轮廓，完成作图。侧面投影轮廓线应画到c″、d″为止。

例3.2求被截圆筒的水平投影和侧面投影（图3-5）。

解 圆筒的上部开有一方槽，截平面Q为侧平面，Q截圆筒的交线为直线；截平面P为水平面，P截圆筒的交线为圆弧；平面P、Q彼此相交于直线段。

图3-5开方槽圆筒的截交线

作图步骤：  (1)先画出完整圆筒的水平投影和侧面投影，再求切口的投影。由方槽的正面投影，先作方槽的水平投影，然后再由正面投影和水平投影作出方槽的侧面投影。       

   （2）判别可见性，并整理轮廓线，擦去多余的线，完成作图。

3.1.3.2平面与圆锥相交

   平面与圆锥相交，即圆锥面被平面所截切，根据截平面与圆锥的&对位置不同,其截交线形状有五种情况(见表3-2)。

表3-2圆锥面的截交线

图3-6为正垂面截圆锥的投影。由图可知,截平面P与圆锥轴线倾斜，且与圆锥面的所有素线都相交,截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚在PV上为已知，故只要求作截交线的水平投影和侧面投影，具体作图步骤如下：

（1）求截交线上的特殊点。这些特殊<分别为椭圆的长、短轴端点A、B、C、D，以及转向轮廓线与截平面的交点Ⅰ、Ⅱ。其中A、B为椭圆长轴的两端点，其正面投影a′b′反映长轴的实长；C、D为椭圆短轴的两端点，C、D的正面投影c′(d′)积聚在长轴正面投影a′b′的中点处。A、B、Ⅰ、Ⅱ<点的水平投影a、b、1、2和侧面投影a″、b″、1″、2″，可由它们的正面投影按投影关系直接求出。C、D 两点的投影c、d和c″、d″需用辅助纬圆法求得。

图3-6正垂面截圆锥的截交

（2）求截交线上的一般点S在截交线有积聚性的正面投影上选取一般点Ⅲ、Ⅳ，用辅助纬圆法求出3、4、3″、4″。

（3）依次光滑连接各点的投影，并判别可见性。图中所求截交线的水平投影和侧面投影均为可见。

（4）整理轮廓线，侧面投S的轮廓线应画到c″、d″为止。

例3.3 补绘圆锥切口的水平投影和侧面投影（图3-7(b)）。

  解 如图3-7（b）所示，圆锥被正垂面Q和水平面R截切，平面Q通过锥顶，截交线是两条过锥顶的直线段；平面R的截交线是圆弧；平面Q与R的交线为正垂线CB。

   作图步骤：

（1）作平面Q的截交线。延长QV与底面正面投影相交，得过锥

图3-7圆锥切口的投影

顶的素线SⅠ、SⅡ的正面投影s′1′、(s′2由s′1′、(s′2′)求出s1、(s2)和s″1″、(s″2″)，点B、C在SⅠ、SⅡ上，由b′、(c′)可得b、c和b″、c″。

（2）作平面R的截交线。以s为圆心，sb为半径画出交线圆弧的水平投影cab；截交线的侧面投影积聚为一直线段。

（3）判别可见性，并整理，擦去多余的线，完成作图。

3.1.3.3平面与圆球相交

   平面与圆球相交，即用平面截切圆球面，不论截平面处于任何位置，截交线都是圆。但根据截平面对投影面的相对位置不同，截交线的投影可以是直线段、圆或椭圆。当截平面平行于投影面时，截交线该投影面上的投影反映实形，是圆；当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚成一条直线段，线段长为截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影为椭圆。

例3.4 求被切球面的正面投影和侧面投影（图3-8）。

解 分析：如图所示，球面被铅垂面P所截切，截平面P与球面的交线在H面上的投影积聚在PH上。因为截平面倾斜于正立投影面和侧立投影面，所以截交线的正面投影和侧面投影均为椭圆，可分别求出它们的长、短轴后作出。

图3-8球面截交线的求法

   作图步骤：（1）求截交线上的特殊点。这些特殊点分别为椭圆的长、短轴端点A、B、C、D，以及转向轮廓线与截平面的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。

在水平投影上直接标出以上各点的投影a、b、c、d、1、2、3、4，其中c、d在线段ab的中点处，C、D 两点的投影c′、d′和c″、d″可用辅助纬圆法求得。其他各点的投影，可由它们的水平投影按投影关系直接求出。

   2）求截交线上的一般点。在截交线有积聚性的水平投影上选取一般点Ⅴ、Ⅵ，用辅助纬圆法分别求出它们的其余两投影。

   （3）依次光滑连接各点的投影，并判别可见性。图中所求截交线的投影均为可见。

   （4）整理轮廓线，正面投影的轮廓应画到1′、2′为止，侧面投影的轮廓应画到3″、4″为止。

3.1.3.4平加肴我饣刈面相交                          

 图3-9任意回转面的截交线

   平面与任意回转面相交,一般情况下截交线为对称的平面曲线，当截平面垂直于回转曲面的轴线时,截交线是圆。

例3.5 求正平面与任意回转面的截交线（图3-9）。

解 分析：由图可知，该立体是轴线垂直于水平面的任意回转面，截交线的水平投影积聚在PH上，侧面投影积聚在PW上，故只需求出截交线的正面投影。

　 解（1）求截交线上的特殊点。最高点Ⅰ、最低点Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′可由投影

关系直接求出。

   （2）求截交线上的一般点。在侧面投影的PW上取一般点4″(5″)、6″(7″)，利用辅助纬圆法求出4、5、6、7，再利用投影关系求出4′、5′、6′、7′。

   （3）光滑连接各个点的投影并判别可见性。由图可知截交线的正面投影全部可见。

3.1.3.5平面与组合体相交

图3-10磨具顶针的截交线

   平面与组合体相交，即组合体被平面截切，其截交线一般是由若干段几何性质不同的直线或曲线围成的平面图形，每一段截交线的几何形状由所属基本体的性质及其与截平面的相对位置而定。因此，为了正确地画出组合体表面的截交线，首先必须进行形体分析，找出各基本体之间的分界线，然后分别求出这些基本体的截交线，并依次将其连接即可。

例3.6 求作磨具顶针的截交线（图3-10）。

  解 如图3-10所示，磨具顶针是由同轴的圆锥、小圆柱和大圆柱组成的，且轴线垂直于侧面。

水平截平面Q截圆锥的交线为双曲线，截圆柱面的交线为直线；正垂截平面P与大圆柱的轴线斜交，

其交线为部分椭圆。平面P、Q的正面投影及平面Q的侧面投影均为有积聚性的直线段，圆柱面的侧

面投影有积聚性，故截交线的正面投影和侧面投影为已知，只需求作交线的水平投影。 

解（1）在正面投影和侧面投影中分别标出点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的投影，再利用投影关系求出它们的水平投影。