机械制图教程(2.4)直线与平面、两平面的相对位置

2.4  直线与平面、两平面的相对位置

    直线与平面、两平面的相对位置可分为平行和相交两类。

2.4.1  直线与平面、平面与平面平行

（1）直线与平面平行的几何条件是：直线平行于平面内任一直线。

 

 图2-23   判别直线与平面是否

（2）平面与平面平行的几何条件是：一平面内相交两直线对应平行于另一平面内的两相交直线。利用上述几何条件可在投影图上求解有关平行问题。

例2.7   如图2-23所示，判别直线EF是否平行于△ABC。

解  若EF∥△ABC，则△ABC上可作出一直线∥EF。故先作一辅助线AD，使a′d′∥e′f′，再求出水平投影ad。因ad不平行于ef，所以EF不平行于AD，也就是说在△ABC内不能作出一条直线平行于EF，故EF不平行于△ABC。

例2.8   如图2-24(a)所示，过已知点D作正平线DE与△ABC 平行。

解  （1）分析：过点D可作无数条直线平行于已知平面，但其中只有一条正平线，故可先在平面内取一条辅助正平线，然后过 D作直线平行于平面内的正平线。

（2）作图步骤如下（见图2-24(b)）：

先过平面内的点A作一正平线AM（am∥OX）；平行再过点D作DE平行于AM，即de∥am，d′e′∥a′m′,则DE 即为所求。

图2-24  过已知点作正平线与平面平行

例2.9   如图2-25(a)所示，过点D作平面∥△ABC。

解  （1）分析：只要过点D作相交两直线分别平行于△ABC内任意两相交直线即可满足题目要求。

（2）作图步骤如下（见图2-25(b)）：先过点D作DE∥AC，即作de∥ac，d′e′∥a′c′；

再过点D作DF∥AB，即作df∥ab，d′f′∥a′b′，则平面DEF即为所求。

图2-25  过点作平面平行于已知平面

2.4.2 直线与平面、平面与平面相交

    直线与平面相交、平面与平面相交,其关键是求交点和交线，并判别可见性。其实质是求直线与平面的共有点、两平面的共有线。同时a它们也是可见与不可见的分界点、分界线。

    当直线或平面对投影面处于垂直位置时，由于它在该投影面上的投影具有积聚性，所以交点或交线至少有一个投影可以直接确定，其他投影可以运用平面内取点、取线或在直线上取点的方法确定。当直线和平面都处于一般位置时，则不能利用积聚性求解，本教材不予讨论。

    如图2-26所示，直线MN与铅垂面△ABC交于点K。由于△ABC的水平投影abc积聚成直线，故MN的水平投影mn 与abc的交点k就是点K的水平投影，由k在m′n′上作出k′。

    MN的可见性可利用重影点来判断。直线MN与AC在正立面投影有一重影点即m′n′与a′c′的交点1′、2′。分别在mn和ac上求出1和2，由于点1在点2之前，故1′可见，所以

m′k′为可见，画成粗实线。而交点为可见与不可见s分界点，故n′k′与△a′b′c′重叠部分为不可见，画成细虚线，如图2-26(b)所示。

    

图2-26  直线与平面相交图               2.27  两平面相交

    如图2-27所示，平面△ABC和铅垂面DEFG的交线为MN。显然M、N分别是△ABC的两边AB、AC与铅垂面DEFG的交点。如图2-27(b)，利用求直线与投影面垂直面交点的作图方法，求出交点m、n，对应得m′、n′，连接m′n′、mn，即为交线的两面投影。

    两平面重叠部分的可见性判别，同样可用重影点1′、2′来判别。由图2-27（b）可知，由于点1在点2之前，所以1′可见，故g′1′为可见mm′(2′)为不可见，根据平面与平面存在遮住与被遮住的关系，可判断其余各部分的可见性。可见的画成粗实线，不可见的画成细虚线。

2.4.3直线与平面垂直

    直线与平面垂直的几何条件是：直线如果垂直于平面上两相交直m，则直线垂直于平面。

    当平面为投影面垂直面时，若直线和该面垂直，则直线必平行该平面所垂直的投影面，并且直线在该投影面的投影，也必垂直于平面的投影。如图2-28（a）所示，平面CDEF为铅垂面，直线AB⊥CDEF面，则AB为水平线，ab⊥cdef，如m2-28（b）所示。

    例2.10 如图2-29所示，求点D到正垂面ABC的距离。

         

图2-28  直线与铅垂面垂直          图2-29  求点到平面的距离

解  求点到平面的距离，是从点向平面作垂线，点与垂足的距离即为点到平面的距离。

由d′作线d′e′⊥a′b′c′，交点为e′。由d作直线∥OX 轴，求出e，故d′e′即为点D到正垂面△ABC的距离实长。

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