机械工程制图网络课程-§5.1换面法

1．基本概念 　

     在V/H 投影体系中，三角形ABC是铅垂面，若欲得出三角形ABC的实际形状可以建立一个新的投影体系V1/H。在建立新的体系V1/H时，使V1∥yABC。

    换面法： 在上述实例中，原投影体系中的V为旧投影面，H为保留（不变）投影面。V1为新建投影面。
    新投影面的选择应符合如下条件：
    1) 新建投影面与保留投影面垂直,形成一个新的两面体。
    2) 新建投影面在处于有利解题的位置，使问题简化。

图5-1
 

2．点的换面　

　 旧的两面体系V/H，保留H面，新建V1垂直H，形成新的二面体系V1/H。 点A向V1做投影a1'。
　 在图5-2中，a1'到ox1轴的距离反映了空间点A到H面的距离，在投影变换中，A到H的距离没有发生变化。
　 而在旧的体系V/H中，A点的V面投影a'到ox轴的距离=A到H面距离 。
　 因此,投影图 5-3中，a1'ax1=a'ax

图5-2     图5-3  

    换H面 （图5-4）-（图5-5）体现做图过程：
    无论变换点的正面投影还是水平投影 ，点在新，旧两投影体系中的投影之间，如下投影规律:

    1)新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴
    2)新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离

      图5-4     图5-5

  点的换面规律
    （1） 点的新图影和保留图影的连线垂直于新的图影轴；
    （2） 点的新图影到保留图影的距离等于被替换的图影到旧图影轴的距离。

 3．直线的换面

3.1　将一般位置直线变换为投影面平行线

    例5-1 如图5-6，在V/H体系中有一般位置直线AB，求AB的实长和α角。

图5-6           图5-7 

     分析： 我们知道，当直线平行于某个投影面时，直线在该投影面的投影反映直线的实.并且投影与投影轴的夹角反映直线对相应投影面的倾角，所以，欲求AB的实长和 α角，可以①建立一个新的投影面V1，使AB与之平行；②保留H面，去掉V面，即使新的投影轴OX1‖ab（使图中红色部分出现）
    做图步骤：
    1）.OX1‖ab
    2) 按点的换面规律，求出a1',b1'
 3) 连接a1'b'其即为AB的实长，且a1'b'与OX1夹角=α （在H/V1 二面体系中，AB是V1面的平行线）
　　若欲求AB的实长和AB对V面的倾角β则可以保留V面，去掉H面，建立一个新的.影面H1，使AB平行于H1，如图5-7,a1b1=AB实长，a1b1与OX1夹角=β

3.2 将投影面平行线变换为新投影面的垂直线
　　例5-2 如图5-8,在V/H体系中有一正平线AB。作投影变换，使之成为新建投影面的垂直线
　　分析：在一个二面体系中，直线是某个投影面的垂直线，在这个投影面内，直线的投影积聚为一点，对于另一个投影面，直线是平行线现在AB对V面是平行线，故保留V面，建立新的投影面H1⊥ V，并使AB⊥H1
　　做图步骤：
　　1）做OX1⊥a'b'
　　2）按点的换面规律宄鯽1, b1

图5-8

3.3 将一般位置直线变换为某投影面的垂直线。

例5-3, 如图5-9，直线AB在V/H体系中是一般位置直线，利用换面法使它成为某个投影面的垂直线

应进行二次换面，首先利用一次换面将直线变换为平行线，再进行二次换面将平行线变换为垂直线。
做图步骤：
　　1）作O1X1∥ab
　　2）求出a1', b1'
　　3）作O2X2⊥a1'b1'
　　4）求出a1, b1

图5-9

　　例5-4（直线换面应用）已知直线AB∥CD ，求AB与CD之间的距离。

　　分析：AB、CD在V∕H体系中是一般位置直线；它们在V或H面上投影之间距离不能反映AB与CD的实际距离；故利用换面法使AB,CD与新的投影面垂直；在该投影面上AB,CD的投影分别积聚为点；两点之间的距离反映了空间AB,CD的距离
　　作图：
　　1）第一次换面，使AB,CD平行新投影面，作O1X1∥ab；
　　2）作出a1'b1', c1'd1'；
　　3）做o2x2⊥a1'b1'；
　　4）作出a2b2(重合)，c2d2（重合）；
　　5）a2b2与c2d2之间距离即为所求。

图5-10 

4.平面的换面

4-1　将一般位置平面变换成投影面垂直面

    在V/H两面体系中，平面P是一般位置平面，AB是P与 H面的交线， L1,L2…是P 内与 H平行的直线。
    分析：现欲建立一个新的投影面V1,使V1⊥P,且保留H面，则V1应⊥H。V1 与 H面可形成一个新的二面体系，P在这个二面体系V1/H中是V1的垂直面新建投影面V1同时应与H面和P 面垂直，则只要使V1 与H面和P 平面的交线垂直即可。进一步阐述，因L1,L2,…是平面P内的水平线，L1,L2…∥交线AB,则新建投影1V1⊥平面 P内的水平线即可。

图5-11 

例5-5．用换面法使平面ABC⊥新建投影面V1（保留H面）。如图5-11
　　做图步骤：
　　1）在ABC内做一条水平线Al(a'l'∥ox,l①在BC上)
　　2）做轴o1x1⊥al
　　3）将ABC 三点的V1面投影作出，即为所求
　　4-2 将投影面垂直面变换成投影面平行面
　　分析：根据投影面平行面的投影特点，例如水平面ABC的H投影反映实形， V面投影积聚为一条直线，且平行于相应投影轴，即ABC ⊥V面。
　　例5-6．如图5-12现ABC平面⊥H面。欲建立新投影面使ABC与之垂直。

图5-12 

　　作图步骤：
　　1）作轴o1x1∥abc
　　2）做A,B,C,在新投影面上的投影a1'，b1'，c1'
　　3）连接a1'b1'c1'
　　即为所pABC∥V1面，在V1面内ABC 投影，反映其实形。

　　4-3 将一般位置平面变换为投影面平行面(如图5-13)

　　在V/H二面体系中,ΔABC是一般位置平面，欲求其实形。
　　解：①首先将 ABC变换为投影面垂直面。
　　　 ②第二次变换为投影面平行p。
　　步骤：
　　1）在ABC内作A1 使 A1∥H面
　　2）做O1X1⊥a1
　　3）作出a1'b1'c1'
　　4）作O2X2∥a1'b1'c1'
　　5）作出a2b2c2

图5-13　　

例5-7 求平面ABC与平面CBD的夹角
　　当平面ABD和CBD 同时垂直于投影面 Q时(如图5-14)，两平行面在Q 上的投影分别积聚为直线，这两条直线之间的夹角3映了两平行面的夹角，故建立新的投影面使两平面的交线与新投影面垂直

图5-14 

　　做图步骤：(如图5-15)
　　1）做o1x1∥bc建立V1投影面
　　2）将ABCD点的V1面投影作出， a1'b1'c1'd1'
　　3）做o2x2⊥c1'b1'建立新 H1投影面
　　4）作出ABCD在H1 面上的投影（在H1投影面上ABC,BCD 分别积聚为直线）

图5-15