机械工程制图网络课程-§6.1曲线

1. 曲线的形成和分类

1.1 曲线的形成　 
(1) 曲线可以是一动点在运动过程中连续改变其运动方向所形成的轨迹，如图6-2（a）所示。　 
(2) 曲线也可以是两曲面相交或一曲面与呙嫦嘟凰形成的交线，如图6-2（b）所示。

图6-2 曲面的形状

1.2 曲线的分类

    按照动点运动时有无一定的规律，曲线可分为规则曲线与不规则曲线。按曲线上各点的相对位置，曲线又可分为平面曲线与空间曲线。

(1) 平面曲线:各点都位于同一平面上的曲线是平面曲线，如圆、椭圆、双曲线、抛物线、渐开线、阿基米德涡线等。　
(2) 空间曲线:任意连接四点不位于同一平面的曲线是空间曲线，如各种螺旋线以及连曲面在一般情况下相交所形成的交线等。　 　 　 　

2 曲线的投影和投影特性

    曲线是动点运动的轨迹，也可以说是哦一系列连续点的集合。因此，绘制曲线的投影时，只要能作出曲线上一系列点的投影，并把它们的同面投影依次光滑地连接起来，即得曲线的投影。这是绘制曲线投影的一般方法。但是，如能根据曲线的投影特性，预先对曲线投影的形状或特点作出判断，则可以使图形准确作图简化。现将曲线的主要投影特性分述如下：

    （1）在一般情况下，曲线的投影仍然是曲线。因为，通过曲线上各点的投影线，将形成一个垂直于投影面的曲面，该曲面与投影面的交线仍为曲线（图6-3，a）。在特殊情况下，平面曲线的投影可能是直线段，或反映实形。例如，当曲线所在的平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影为直线段（图6-3，b）；当曲线所在的平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形（图6-3，c）。平面曲线所在的平面为一般位置时,其投影必为原曲线的类似形。如抛物线的投影是抛物线，双曲线的投影是双曲线等。在任何情况下，空间曲线的投影都不可能积聚为直线段或反映实形，也不可能是原曲线的类似形。在表示空间曲线时，至少需要两面投影才能确定它的形状。　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　

图6-3 曲线的投影 

 （2）曲线切线的投影仍与曲线的投影相切，而且切点的投影仍为投影的切点。因为曲线的切线可以看作是割线的极b位置。例如，在图6-4（a）中，直线CD与ABEF相割，交点为C、D。当点C向点D无限趋近以至重合时，点C的投影（c、c’）也与点D的投影（d、d’）无限趋近以至重合。这时，割线CD变成了切线C1D。在投影图上，割线的投影cd与c’d’变成了曲线投影的切线c1d与c1’d。而且切点D的投影d和d’正是投影的切点（图6-4，b）。

图6-4 曲线的切线  

　（3）在一般情况下，曲线特殊点的投影仍为曲线投影的特殊点。曲线上特殊点可分为两类： ①曲线本身的特殊点 这类特殊点是曲线本身所固有的，与曲线对投影面的相对位置无关。例如,曲线本身的交点(二重点)、平面曲线上曲率反向的分界点(反曲点)和曲线回折时形成的峰点(回折点)等，如图6-5所示。必须注意，空间曲线上对某投影面的重影点,并非曲线本身的特殊点。如图6-4(a)中的点B、E,尽管其水平投影重影为b(e),但点B、E并非曲线上的二重点。

图6-5 曲线的特殊点 

　 ②曲线对投影面的特殊点 这类特殊点是指曲线上距离投影面最远和最近的点，即曲线上坐标值（x或y或z）最大和最小的点。图6-6所示系一椭圆的两面投影，它距H面最远和最近的点必为曲线与水平面P1、P2的切点。其中z值最大的点1称为最高点；z值最小的点2称为最低点。距W面最远或最近的点必为曲线与侧平面S1、S2的切点。其中x值最大的点3称为最左点；x值最小的点4称为最右点。距V面最远和最近的点必为曲线与正平Q1、Q2的切点，其中，y值最大的点5称为最前点；y值最小的点6称为最后点。显然，曲线对投影面的特殊点在曲线上的位置不是固定的，它将随曲线相对于投影面的位置而改变。曲线对投影面的特殊点，其投影确定了曲线各投影的极限位置，所以绘制曲线的投影时，应先求出它们的投影。

 图6-6 曲线对投影面的特殊点 

3 圆柱螺旋线的投影

　 圆柱螺旋线是工程中应用很广的一种空间曲线。

　 3.1 圆柱螺旋线的形成和画法　

　 (1)形成：圆柱面上一动点在绕园柱面作等速转动的同时，又平行于其轴线作等速移动，此动点的运动轨迹即为圆柱螺旋线(图6-7,a,b)。该圆柱称为螺旋线的导圆柱。导圆柱的轴线和直径也是螺旋线的轴线和直径。在圆柱形零件上车制螺纹时，零件等速转动，车刀等速移动，刀尖在圆柱表面上即划出圆柱螺旋线，如图6-7（c）所示。

图6-7 圆柱螺旋线的形成

　 在动点沿轴线移动方向已定的条件下，动点可向正反两个方向转动。根据动点转动方向的不同，螺旋线可分为左旋和右旋两种。当导圆柱轴线直立时，右旋螺旋线g可见部分自左向右升高（图6-7，a）；左旋螺旋线则自右向左升高（图6-7，b）。动点每旋转一周，沿轴向的位移为螺旋线的导程，通常以S表示。若已知螺旋线的直径、旋向和导程,即可按其形成规律绘出它的投影图(图6-8)。　 　

　（2）螺旋线投影的画法：由于圆柱螺旋线上g有点均与轴线等距，所以轴线直立的螺旋线，其水平投影为圆，该圆的直径等于螺旋线的直径。又因动点的角速度与先速度都是均匀的，所以，每当它旋转2π/n角度后，必然沿轴向相应地移动S/n距离（通常取n为偶数）。现设右旋圆柱螺旋线的直径为D，导程为S，其作图步骤如下（图6-8，左图）： 　　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　 　

①以D为直径画出螺旋线的水平投影（圆）及轴线的正面投影，并定出导程S；②将所画圆周和导程S均分为 n等份（图中n=12）；　 　 　 　 　 　　 　 　
③过圆周上各等分-作垂直线，过导程S上各等分点作水平线，这两组线对应相交的交点如a1、a2···a12即为螺旋线正面投影上的点；④依次光滑地连接各点即得螺旋线的正面投影（正玄曲线）。

（3）圆柱螺旋线的基本性质

图6-8 圆柱螺旋线的投影 

　　 ①圆柱螺旋线的展开图为一直线（图6-8，右图）。这是因为动点的角速度与线速度都是均匀的，所以，其轴向位移与圆周位移成正比。图中λ称为螺旋线的升角，β称为螺旋角，且有：

　　 AA12是一个导程内螺旋线的展开长度。由于螺旋线展开图是直线，而任意两点间又以直线为最短，故可推之：圆柱表面上任意两点间距离，除其连线为直线和圆弧外，应以螺旋线为最短。②轴线直立的圆柱螺旋线上各点的切线与水平面的倾角等于该螺旋线的升角（图6-9），且各切线的水平迹点的连线为一渐开线，渐开线的基圆即该螺旋线的水平投影。

图6-9 螺旋线的切线